Съдържание

НОФ 2012, II кръг (областен), 7. клас — Задача 2. Бойлер

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

Областен кръг на олимпиадата по физика 2012 — тема за възрастова група VII клас · 24 февруари 2012 г. · 10 т.

Общи указания

• Приведените решения са примерни. При алтернативни обосновани решения се дава пълният брой точки по всяко подусловие.

• Крайните резултати по всяко подусловие са оградени в каре. За неправилна числена стойност на крайния отговор или за непосочени мерни единици се отнемат 0,5 точки.

• Числените стойности на междинните пресмятания не са задължителни и тяхната липса не води до отнемане на точки.

Условие

В тази задача приемете, че напрежението в електрическата мрежа е $U = 240\ \mathrm{V}$ .

Ученик пуснал да се затопля водата в електрически бойлер с две степени на мощността. През 10 минути засичал по електромера на дома консумираната от бойлера електрична енергия. В началото бойлерът работил на по-ниската мощност, след което ученикът го превключил на по-високата мощност. На графиката от Фиг. 2 е дадена зависимостта на консумираната електрична енергия $Q$ от времето $t$ , изминало след включването на бойлера.

А) Колко време след включването на бойлера ученикът го е превключил на по-висока мощност?

Б) Колко вата е мощността $P_1$ на бойлера на по-ниската степен и мощността $P_2$ на по-високата степен.

В) На по-ниската степен водата се загрява само от един нагревател, включен към електрическата мрежа. Колко е неговото съпротивление $R_1$ ?

Г) На по-високата степен, успоредно към първия нагревател, е включен втори нагревател. Колко е съпротивлението $R_2$ на втория нагревател?

Графика на енергията спрямо времето; Фиг. 2.

Решение

А) От графиката се вижда, че до 20-тата минута, за всеки интервал между две измервания, бойлерът консумира по 0,4 kWh, а след това – по 1 kWh. Следователно бойлерът е превключен на по-висока мощност в момента $t_1 = 20\ \mathrm{min}$ . [1 т]

Б) Докато работи на по-ниска мощност, бойлерът консумира енергия $Q_1 = 0{,}8\ \mathrm{kWh}$ за време $t_1 = 20\ \mathrm{min} = 1/3\ \mathrm{h}$ . [0,5 т]

От връзката $Q = Pt$ , където енергията се измерва в kWh, мощността в kW, а времето – в h, намираме:

P_1 = \frac{Q_1}{t_1}

[0,5 т]

или

\boxed{P_1 = \frac{0{,}8\ \mathrm{kWh}}{1/3\ \mathrm{h}} = 2{,}4\ \mathrm{kW} = 2400\ \mathrm{W}}.

[1 т]

Когато работи на по-висока мощност, бойлерът консумира за време $t_2 = 40\ \mathrm{min} = 2/3\ \mathrm{h}$ енергия $Q_2 = 4\ \mathrm{kWh}$ . [0,5 т]

Следователно на втората степен мощността на бойлера е:

\boxed{P_2 = \frac{4\ \mathrm{kWh}}{2/3\ \mathrm{h}} = 6\ \mathrm{kW} = 6000\ \mathrm{W}}.

[1 т]

В) На по-ниската степен мощността на бойлера може да се изрази като:

P_1 = \frac{U^2}{R_1},

[1 т]

откъдето намираме:

R_1 = \frac{U^2}{P_1} = \frac{(240\ \mathrm{V})^2}{2400\ \mathrm{W}} = 24\ \Omega.

[1 т]

Г) По-долу са дадени два варианта на решение.

I вариант

Понеже при успоредно свързване и двата нагревателя работят при еднакви напрежения, общата мощност на бойлера е:

P_2 = \frac{U^2}{R_1} + \frac{U^2}{R_2}.

[1 т]

Понеже $\dfrac{U^2}{R_1} = P_1$ , [0,5 т]

получаваме: $P_2 - P_1 = \dfrac{U^2}{R_2}$ . [1 т]

Оттук намираме:

\boxed{R_2 = \frac{U^2}{P_2 - P_1} = \frac{(240\ \mathrm{V})^2}{3600\ \mathrm{W}} = 16\ \Omega}

[1 т]

II вариант

На по-високата степен мощността на бойлера е:

P_2 = \frac{U^2}{R_{\text{екв}}},

[1 т]

където $R_{\text{екв}}$ е еквивалентното съпротивление на двата успоредно свързани нагревателя. Следователно:

R_{\text{екв}} = \frac{U^2}{P_2} = \frac{(240\ \mathrm{V})^2}{6000\ \mathrm{W}} = 9{,}6\ \Omega.

[0,5 т]

Като имаме предвид, че:

\frac{1}{R_{\text{екв}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2},

[1 т]

намираме:

\frac{1}{R_2} = \frac{1}{9{,}6} - \frac{1}{24} = \frac{24 - 9{,}6}{24 \cdot 9{,}6} = \frac{1}{16}

[0,5 т]

или $\boxed{R_2 = 16\ \Omega}$ . [0,5 т]

Бележка от източника

При оценяването на всяка една задача се спазва следното: При разлика в оценяването до една точка (включително) между двамата проверители крайната оценка е средно-аритметично от точките на двамата проверители. При разлика между двамата проверители повече от една точка, задачата се преразглежда от двамата проверители заедно.

За Националния кръг на олимпиадата се предлагат участниците, получили 20 и повече точки от решените задачи на Областния кръг.

Оригинал в Архива: NOF2_2012_7problems.pdf · официални решения: NOF2_2012_7solutions.pdf