Съдържание

НОФ 2012, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Движение на асансьор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

Национална олимпиада по физика 2012, областен кръг, тема за възрастова група VIII клас · 24 февруари 2012 г. · 10 т.

Условие

Асансьор се придвижва от първия до седмия етаж за време $t_{1\text{-}7} = 20\ \mathrm{s}$ , а от първия до тринадесетия етаж – за време $t_{1\text{-}13} = 38\ \mathrm{s}$ . Височината на един етаж е $d = 3\ \mathrm{m}$ . Може да се приеме, че при тръгване и спиране асансьорът се движи с едно и също по големина ускорение $a$ за време $t_{\text{уск}}$ , а през останалото време се движи с постоянна скорост $v_{\max}$ . Разстоянието, което асансьорът изминава от покой, докато достигне максималната си скорост, е $h = 1\ \mathrm{m}$ . Изчислете:

а) големината на максималната скорост $v_{\max}$ [4 т.]

б) ускорението $a$ [1,5 т.]

в) интервалът време $t_{\text{уск}}$ [1,5 т.]

г) времето $t_{1\text{-}10}$ , за което асансьорът се придвижва от първия до десетия етаж [3 т.]

Отговори

Решение

а) времето $t_{1\text{-}7}$ , за което асансьорът се придвижва от първия до седмия етаж, е:

t_{1-7} = \sqrt{\frac{2h}{a}} + \frac{6.d - 2h}{v_{\max}} + \sqrt{\frac{2h}{a}} \qquad \textbf{[1 т.]} \qquad (1.1)

времето $t_{1\text{-}13}$ , за което асансьорът се придвижва от първия до тринадесетия етаж, е:

t_{1-13} = \sqrt{\frac{2h}{a}} + \frac{12.d - 2h}{v_{\max}} + \sqrt{\frac{2h}{a}} \qquad \textbf{[1 т.]} \qquad (1.2)

Ако извадим (1.1) от (1.2), получаваме $t_{1-13} - t_{1-7} = \dfrac{6d}{v_{\max}}$ , откъдето

v_{\max} = \frac{6d}{t_{1-13} - t_{1-7}} = \ \textbf{[1 т.]}\ = \frac{6.3\ \mathrm{m}}{38\ \mathrm{s} - 20\ \mathrm{s}} = 1\ \mathrm{m/s}\ \ \textbf{[1 т.]}

б) от законите за скоростта $v = at$ и пътя $h = \frac{1}{2}at^2$ при равноускорително движение, се получава (при използваните в задачата означения) $a = \dfrac{v_{\max}^{\,2}}{2h}$ [1 т.]. След заместване

a = \frac{\left(1\ m/s\right)^2}{2.1\ m} = 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}\ \ \textbf{[0,5 т.]}

в) интервалът време $t_{\text{уск}}$ може да се намери от закона за скоростта: $t_{\text{уск}} = \dfrac{v_{\max}}{a} =$ [1 т.] $= \dfrac{1\ m/s}{0{,}5\ m/s^2} = 2\ \mathrm{s}$ [0,5 т.]

г) времето $t_{1\text{-}10}$ , за което асансьорът се придвижва от първия до десетия етаж се пресмята както в (1.1) и (1.2):

t_{1-10} = \sqrt{\frac{2h}{a}} + \frac{9.d - 2h}{v_{\max}} + \sqrt{\frac{2h}{a}} = 2t_{\text{уск}} + \frac{9.d - 2h}{v_{\max}}\ \ \textbf{[1,5 т.]}\ = 4\ \mathrm{s} + \frac{9.3\ m - 2.1\ m}{1\ m/s} = 29\ \mathrm{s}\ \ \textbf{[1,5 т.]}

Оригинал в Архива: NOF2_2012_8problems.pdf · официални решения: NOF2_2012_8solutions.pdf