Съдържание

НОФ 2012, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 1. Ефектът на доминото

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

Олимпиада по физика 2012, Национален кръг, Хасково — тема за 10.–12. клас, първи етап · 21 април 2012 г. · 15 т.

Условие

Реалният удар между две тела никога не е идеално еластичен, тъй като част от началната им механична енергия се трансформира в топлина. В такъв случай е прието ударът да се характеризира с така наречения коефициент на възстановяване $\eta$ , който се дефинира по следния начин:

\eta = \frac{v'_{\mathrm{отн}}}{v_{\mathrm{отн}}},

където $v_{\mathrm{отн}}$ и $v'_{\mathrm{отн}}$ са големините на относителните скорости на телата едно спрямо друго съответно преди и след удара. Коефициентът на възстановяване има стойности $0 \le \eta \le 1$ и зависи единствено от материалите, от които са изработени телата.

(В оригинала този абзац е отпечатан между подусловия а) и б).)

а) Трупче с маса $m$ , което се движи с начална скорост $v_0$ , удря челно друго трупче със същата маса, което е неподвижно. Ударът е идеално еластичен. Намерете скоростите $v_1$ и $v_2$ на трупчетата след удара. [3 т.]

б) Както в точка а), ударът между трупчетата е челен, като преди удара едното трупче се движи със скорост $v_0$ , а другото е неподвижно. Ударът обаче не е еластичен и се характеризира с коефициент на възстановяване $\eta$ .

Определете скоростите $v_1$ и $v_2$ на трупчетата след удара. [6 т.]
Намерете промяната $\Delta U$ на вътрешната енергия на трупчетата в резултат на удара помежду им. [8 т.]

Стъпаловидна повърхност от няколко тераси, всяка с правоъгълно трупче върху нея; височинната разлика между съседни тераси е h. — Тераси, разположени една под друга през еднакви височини $h$ , с по едно трупче на всяка.

в) Голям брой хоризонтални „тераси” са разположени една под друга през еднакви височини $h$ . Еднакви трупчета, всяко с маса $m$ , са поставени неподвижни – по едно на всяка тераса. На най-горното трупче е придадена много малка начална скорост, поради която то се хлъзга до долната тераса и удря следващото трупче. То на свой ред се хлъзга до третата тераса и удря поставеното на нея трупче и т.н. Намерете границата $v_\infty$ , към която клони скоростта на $N$ -тото трупче, след като бъде ударено, когато $N \to \infty$ .

Коефициентът на възстановяване при всички удари е $\eta$ . Триенето между трупчетата и повърхността се пренебрегва. Земното ускорение е $g$ . Приемете също така, че трупчетата се хлъзгат по повърхността, без да се отделят от нея. [4 т.]

Отговори

Решение

а) При еластичен удар са изпълнени законите за запазване на импулса и на механичната енергия:

(1)\qquad mv_0 = mv_1 + mv_2

(2)\qquad \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2}

От тях намираме, че скоростите на трупчетата след удара са:

(3)\qquad v_1 = 0

(4)\qquad v_2 = v_0

т.е. падащото трупче спира, а второто поема цялата му кинетична енергия.

б) При нееластичен удар е изпълнен само законът за запазване на импулса:

(5)\qquad mv_0 = mv_1 + mv_2

Относителната скорост на трупчетата преди удара е:

(6)\qquad v_{\mathrm{отн}} = v_0

а след удара:

(7)\qquad v'_{\mathrm{отн}} = v_2 - v_1

От дефиницията на коефициента на възстановяване следва:

(8)\qquad v_2 - v_1 = \eta v_0

Решаваме уравненията (5) и (8) като система, откъдето определяме:

(9)\qquad v_2 = \frac{1+\eta}{2}v_0

(10)\qquad v_1 = \frac{1-\eta}{2}v_0

От II принцип на термодинамиката следва:

(11)\qquad \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} + \Delta U

откъдето получаваме:

(12)\qquad \Delta U = \frac{(1-\eta^2)mv_0^2}{4}.

в) Нека скоростта на $N$ -тото трупче, след като бъде ударено, е $v_N$ . От закона за запазване на механичната енергия следва, че то ще достигне намиращата се под него тераса със скорост:

(13)\qquad v'_N = \sqrt{v_N^2 + 2gh},

която играе ролята на начална скорост при удара с $N+1$ –вото трупче. Като използваме формула (9), намираме скоростта на $N+1$ –вото трупче след удара с $N$ -тото:

(14)\qquad v_{N+1} = \frac{1+\eta}{2}\sqrt{v_N^2 + 2gh}.

Понеже $v_N \to v_\infty$ и $v_{N+1} \to v_\infty$ , след граничен преход в двете страни на уравнение (14), намираме:

(15)\qquad v_\infty = \frac{1+\eta}{2}\sqrt{v_\infty^2 + 2gh}.

Оттук определяме граничната скорост на трупчетата:

(16)\qquad v_\infty = \frac{1+\eta}{\sqrt{(1-\eta)(3+\eta)}}\sqrt{2gh}

Схема на оценяване

Елемент от решението / подусловие	Точки
Прилага закона за запазване на импулса	1,0
Прилага закона за запазване на енергията	1,0
Получава израз за скоростта $v_1$	0,5
Получава израз за скоростта $v_2$	0,5
Общо по т. а	3,0
Прилага закона за запазване на импулса	1,0
Изразява относителната скорост преди удара	1,0
Изразява относителната скорост след удара	1,0
Прилага дефиницията за коефициента $\eta$	1,0
Получава израз за скоростта $v_1$	1,0
Получава израз за скоростта $v_2$	1,0
Прилага II принцип на ТД за удара	1,0
Получава израз за $\Delta U$	1,0
Общо по т. б	8,0
Прилага ЗЗЕ и намира скоростта при спускане на по-долно стъпало	1,0
Изразява скоростта на следващото трупче след удара	1,0
Получава уравнение за $v_\infty$ след граничен преход	1,0
Намира окончателен израз за $v_\infty$	1,0
Общо по т. в	4,0
Общо за задачата	15,0

Оригинал в Архива: NOF3_2012_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2012_10-12solutionsD1.pdf