НОФ 2012, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Падаща проводяща пръчка в магнитно поле

• а) $q(t) = CBlv(t)$

• б) $I(t) = CBl\,a(t)$

• в) $a(t) = \frac{g}{1 + \dfrac{B^2 l^2 C}{m}} = \mathrm{const}$

• г) $E(t) = E_{\mathrm{кин}}(t) + E_{\mathrm{пот}}(t) + E_{\mathrm{ел}}(t) = \frac{ma^2t^2}{2}\left(-\frac{g}{a} + 1 + \frac{CB^2l^2}{m}\right) = 0$

  Пълната енергия се запазва — нула в произволен момент, както в началния.

а) При движение на пръчката със скорост $v(t)$ в контура, съдържащ пръчката, П-образния проводник и кондензатора, се индуцира напрежение $E_i = -\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -\dfrac{B\Delta S}{\Delta t} = -Blv(t)$. [1 т.] То трябва да е равно на напрежението върху кондензатора $U = \dfrac{q(t)}{C}$ [1 т.]. Следователно $q(t) = CBlv(t)$. [1 т.]

б) Като приложим това равенство за два съседни момента, имаме $q(t + \Delta t) - q(t) = CBlv(t + \Delta t) - CBlv(t)$. [0,5 т.] Разделяйки на $\Delta t$, получаваме $I(t) = CBla(t)$. [0,5 т.]

в) От втория принцип на Нютон за движението на пръчката имаме $mg - BlI(t) = ma(t)$ [1 т.] След заместване на $I(t)$ достигаме до $a(t) = \dfrac{g}{1 + \dfrac{B^2 l^2 C}{m}} = \mathrm{const}$. [2 т.], което означава, че пръчката пада с постоянно ускорение.

г) Нека след време $t$ пръчката е паднала с $h$. Ако приемем, че отчитаме височината от първоначалното положение на пръчката, то потенциалната енергия на пръчката е $E_{пот}(t) = -mgh(t) = -mg\dfrac{1}{2}at^2$. [0,5 т.] Кинетичната енергия в този момент е $E_{кин}(t) = \dfrac{mv(t)^2}{2} = \dfrac{ma^2t^2}{2}$. [0,5 т.] Електричната енергия, натрупана в кондензатора, е $E_{ел} = \dfrac{q(t)^2}{2C} = \dfrac{C^2B^2l^2v(t)^2}{2C} = \dfrac{CB^2l^2a^2t^2}{2}$ [1 т.]. Пълната енергия на системата е $E(t) = E_{кин}(t) + E_{пот}(t) + E_{ел}(t) = \dfrac{ma^2t^2}{2}\left(-\dfrac{g}{a} + 1 + \dfrac{CB^2l^2}{m}\right) = 0$. [1 т.] Следователно пълната енергия на системата се запазва, като потенциалната енергия на пръчката се трансформира в кинетична енергия на пръчката и електрична енергия на кондензатора.