НОФ 2012, III кръг (национален), 9. клас — Задача 2. Съпротивление на паралелепипед

• а) $\rho = \sqrt[3]{R_1 R_2 R_3 V}$ ≈ $0.0006$ Ω·m
• б) $a_1 = \frac{\rho}{\sqrt{R_2 R_3}}$
• в) $a_2 = \frac{\rho}{\sqrt{R_1 R_3}}$
• г) $a_3 = \frac{\rho}{\sqrt{R_1 R_2}}$

а) За трите измервания на съпротивлението на паралелепипеда имаме $R_1 = \dfrac{\rho a_1}{a_2 a_3}$ [1 т.], $R_2 = \dfrac{\rho a_2}{a_1 a_3}$ и $R_3 = \dfrac{\rho a_3}{a_1 a_2}$. Обемът на паралелепипеда е $V = a_1 a_2 a_3$ [0,5 т.]. Ако умножим равенствата почленно, получаваме $R_1 R_2 R_3 = \dfrac{\rho^3 a_1 a_2 a_3}{a_1^2 a_2^2 a_3^2} = \dfrac{\rho^3}{V}$. Следователно $\rho = \sqrt[3]{R_1 R_2 R_3 V} = \sqrt[3]{0{,}10\,\Omega\cdot 0{,}40\,\Omega\cdot 0{,}90\,\Omega\cdot 6{,}0\cdot 10^{-9}\ \mathrm{m^3}}$ [1,5 т.] $= 6{,}0\cdot 10^{-4}\ \Omega\mathrm{.m}$ [1 т.].

б) Отношението на съпротивленията е $\dfrac{R_1}{R_2} = \left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^2$ [0,5 т.]. Аналогично имаме $\dfrac{R_1}{R_3} = \left(\dfrac{a_1}{a_3}\right)^2$. Изразявайки $a_2$ и $a_3$ получаваме $R_1 = \dfrac{\rho a_1}{a_1\sqrt{\dfrac{R_2}{R_1}} a_1\sqrt{\dfrac{R_3}{R_1}}}$ [0,5 т.]. След опростяване $a_1 = \dfrac{\rho}{\sqrt{R_2 R_3}}$ [0,5 т.] $= \dfrac{6{,}0\cdot 10^{-4}\ \Omega\mathrm{m}}{\sqrt{0{,}40\,\Omega\cdot 0{,}90\,\Omega}} = 1{,}0\ \mathrm{mm}$ [0,5 т.].

в) По същия начин намираме, $a_2 = \dfrac{\rho}{\sqrt{R_1 R_3}}$ [1 т.] $= \dfrac{6{,}0\cdot 10^{-4}\ \Omega\mathrm{m}}{\sqrt{0{,}10\,\Omega\cdot 0{,}90\,\Omega}} = 2{,}0\ \mathrm{mm}$ [1 т.].

г) Аналогично имаме $a_3 = \dfrac{\rho}{\sqrt{R_1 R_2}}$ [1 т.] $= \dfrac{6{,}0\cdot 10^{-4}\ \Omega\mathrm{m}}{\sqrt{0{,}10\,\Omega\cdot 0{,}40\,\Omega}} = 3{,}0\ \mathrm{mm}$ [1 т.].