Съдържание

НОФ 2012, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 3. Заредено пружинно махало.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

Олимпиада по физика 2012, Национален кръг, Хасково — тема за 10.–12. клас, първи етап · 21 април 2012 г. · 15 т.

Условие

На вертикална пружина с коефициент на еластичност $k_0 = 90\ \mathrm{N/m}$ е окачено метално топче с маса $m = 180\ \mathrm{g}$ и електричен заряд $q = 1\ \mathrm{\mu C}$ (фиг. 2). Когато махалото е неподвижно, под него се поставя неподвижен заряд $Q = q$ и то започва да извършва вертикални хармонични трептения. Разстоянието между равновесното положение на махалото при тези трептения и неподвижния заряд е $x_0 = 10\ \mathrm{cm}$ . Във втория случай под махалото се поставя неподвижен заряд $Q = -q$ и то започва да трепти хармонично. Разстоянието между равновесното положение на махалото при тези трептения и неподвижния заряд е също $x_0 = 10\ \mathrm{cm}$ . Константата в закона на Кулон е $k = 1/4\pi\varepsilon_0 = 9.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ .

Вертикална пружина k0, окачена на таван, с топче m и заряд q на края; под нея хоризонтална линия с точков заряд Q. — Фиг. 2. Топче с маса $m$ и заряд $q$ , окачено на вертикална пружина с коефициент $k_0$ ; под него — неподвижният заряд $Q$ .

а) Намерете амплитудите $A_1$ и $A_2$ на трептене на махалото в двата случая. [2 т.]

б) Определете разстоянието $r$ между равновесните положения на махалото в първия и втория случай. [2 т.]

в) Намерете коефициентите на еластичност $k_1$ и $k_2$ на връщащите сили, под действие на които се извършват хармоничните трептения в първия и втория случай, ако отместването $x$ от равновесното положение е много по-малко от $x_0$ [9 т.]

г) Пресметнете периодите на трептене $T_1$ и $T_2$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като трептенето на махалото започва от неподвижно състояние, амплитудата му на трептене е равна на разстоянието до равновесното положение при наличие на втория заряд. Тогава в равновесие от равенството на еластичната сила на свитата (фиг. 1) или разтегнатата (фиг. 2) пружина и на силата на кулоново отблъскване или привличане имаме

k_0A_1 = k_0A_2 = k\frac{q^2}{x_0^2}, \qquad \textbf{[1 т.]}

и за амплитудата на трептене получаваме

A_1 = A_2 = \frac{kq^2}{k_0x_0^2} \approx 1\ \mathrm{cm}. \qquad \textbf{[1 т.]}

б) Ще отбележим, че в първия случай равновесното положение се намира на разстояние $A_1$ над първоначалното положение на махалото, а във втория случай – на разстояние $A_2$ под първоначалното положение на махалото. Тогава имаме

r = A_1 + A_2 \approx 2\ \mathrm{cm}. \qquad \textbf{[2 т.]}

в) За да намерим коефициентите на еластичност на връщащата сила нека тялото с маса $m$ е отклонено на разстояние $x$ надолу от равновесното положение (фиг. 1).

Две схеми една до друга: вертикална пружина k0 с топче, отместено на x от равновесието, амплитуди A1 и A2, разстояние x0 до неподвижния заряд q, съответно −q. — Фиг. 1 и Фиг. 2 от решението: отместване $x$ от равновесното положение при заряд $q$ (свита пружина) и при заряд $-q$ (разтегната пружина).

Тогава за големината на връщащата сила в първия случай имаме

F_1 = \frac{kq^2}{(x_0-x)^2} - k_0(A_1-x) = k_0x + kq^2\left(\frac{1}{(x_0-x)^2} - \frac{1}{x_0^2}\right) = k_0x + kq^2\left(\frac{2x(x_0-x)}{x_0^2(x_0-x)^2}\right). \qquad \textbf{[3 т.]}

Като отчетем, че $x \ll x_0$ , намираме

F_1 \approx \left(k_0 + \frac{2kq^2}{x_0^3}\right)x = k_1x. \qquad \textbf{[1,5 т.]}

Във втория случай (фиг. 2) имаме

F_2 = k_0(A_2+x) - \frac{kq^2}{(x_0-x)^2} = k_0x + kq^2\left(\frac{1}{x_0^2} - \frac{1}{(x_0-x)^2}\right) = k_0x + kq^2\left(\frac{-2x(x_0+x)}{x_0^2(x_0-x)^2}\right), \qquad \textbf{[3 т.]}

откъдето при $x \ll x_0$ намираме

F_2 \approx \left(k_0 - \frac{2kq^2}{x_0^3}\right)x = k_2x. \qquad \textbf{[1,5 т.]}

г) Периодът на трептене в първия случай е

T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_0 + \dfrac{2kq^2}{x_0^3}}} \approx 0{,}26\ \mathrm{s}, \qquad \textbf{[1 т.]}

а във втория случай имаме

T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_0 - \dfrac{2kq^2}{x_0^3}}} \approx 0{,}31\ \mathrm{s}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: NOF3_2012_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2012_10-12solutionsD1.pdf