НОФ 2012, III кръг (национален), 7. клас — Задача 1. Автобусът за Хасково и кухото кубче

Част 1.

Да означим с $S_2$ пътя, изминат от автобуса в дъжда и с $S_3 = 60$ km последната част от пътя. По план пътят $S_1 + S_2$ е трябвало да бъде изминат със скорост $v_1$ за време

(1) $t = \dfrac{S_2}{v_1} + \dfrac{S_3}{v_1}$. [1,5 точки]

Според условието на задачата автобусът изминава този път за планираното време, но в двете му части се движи с различна скорост:

(2) $t = \dfrac{S_2}{v_2} + \dfrac{S_3}{v_3}$. [1,5 точки]

Приравняваме десните страни на двете равенства и определяме пътя, изминат по време на дъжда:

(3) $S_2 = \dfrac{(v_3 - v_1)v_2}{(v_1 - v_2)v_3}S_3$; [2 точки] $S_2 = 75$ km [1 точка]

Продължителността на дъжда е $t_2 = S_2/v_2 = 1,5$ часа [1 точка]

[Бележка от източника: В уводното изречение оригиналът печата път $S_1+S_2$, а в следващите равенства използва $S_2$ и $S_3$.]

Част 2.

Обемът на използваното за изготвянето на кубчето метално фолио е

$V = 6a^2d$ [1 точка]

Плътността на метала е $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{m}{6a^2d}$ [1 точка]; $\rho = 2,7$ g/cm$^3$ [1 точка]