Съдържание

НОФ 2012, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Топче във въздух

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

Национален кръг на олимпиадата по физика 2012, Хасково — тема по учебно съдържание за 8. клас · 21 април 2012 г. · 10 т.

Указания

Във всички задачи приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Условие

Ако оставим нагрято метално топче във въздух с по-ниска температура, то изстива поради топлината, която отдава на въздуха чрез топлообмен. Ако обаче допълнително духа вятър, топлообменът е по-интензивен и топчето изстива по-бързо. Опитно е установено, че количеството топлина $Q$ , което топче с радиус $R$ придава на въздуха за време $t$ , е:

Q = \left(aR + bR^2v\right)\left(T - T_0\right)t

където $T$ температурата на топчето, $T_0$ – температурата на околния въздух, $v$ е скоростта на вятъра, а $a$ и $b$ са константи със стойности съответно:

a = 0{,}3\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m.K}} \quad \text{и} \quad b = 1300\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m^3.K}}.

А) Желязно топче с радиус $R = 1\ \mathrm{cm}$ е загрято до температура $T = 100\ \mathrm{^\circ C}$ и е оставено в неподвижен въздух с температура $T_0 = 20\ \mathrm{^\circ C}$ . За колко време $t$ топчето ще се охлади до температура $T_1 = 90\ \mathrm{^\circ C}$ . За колко време $t_1$ топчето би се охладило до същата температура, ако към него насочим въздушна струя от вентилатор със скорост $v = 5\ \mathrm{m/s}$ ? [4 т.]

Б) Когато тяло със сферична форма се движи със скорост $v$ в газ, му действа сила на съпротивление:

f = kR^2v^2,

където $k$ е коефициент на пропорционалност, характерен за дадения газ. За въздух при нормално атмосферно налягане и температура:

k = 0{,}4\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}.

До каква температура $T$ се загрява сферичен куршум с радиус $R = 1\ \mathrm{cm}$ , който се движи със скорост $v = 400\ \mathrm{m/s}$ в неподвижен въздух с температура $T_0 = 20\ \mathrm{^\circ C}$ . [3 т.]

В) Вместо да бъде изстрелян, куршумът е пуснат да пада от голяма височина. След време той достига определена гранична скорост на падане. До каква температура се загрява куршумът преди да достигне земята? Температурата на въздуха е $T_0 = 20\ \mathrm{^\circ C}$ . [3 т.]

Данни:

специфичен топлинен капацитет на желязото $c = 560\ \mathrm{J/(kg.K)}$ ;
плътност на желязото $\rho = 7800\ \mathrm{kg/m^3}$ ;

Отговори

Решение

А) Масата на топчето е:

m = \rho V = \frac{4}{3}\pi R^3\rho\,. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Докато се охлади до крайната температура, топчето губи топлина:

Q = \frac{4}{3}\pi R^3\rho c(T - T_1)\,. \qquad \textbf{[1 т]}

Според условието, при охлаждане във въздух:

Q = \left(aR + bR^2v\right)\left(T - T_0\right)t \qquad \textbf{[0,5 т]}

Следователно:

t = \frac{4\pi R^2\rho c(T - T_1)}{3\left(a + bRv\right)\left(T - T_0\right)} \qquad \textbf{[1 т]}

За неподвижен въздух ( $v = 0$ ) намираме:

t = \frac{4\pi R^2\rho c(T - T_1)}{3a(T - T_0)} \approx 762\ \mathrm{s} \approx 13\ \mathrm{min}\,. \qquad \text{(за числена стойност)} \qquad \textbf{[0,5 т]}

При скорост $v = 5\ \mathrm{m/s}$ получаваме $t_1 \approx 3{,}5\ \mathrm{s}$ . (за числена стойност) [0,5 т]

Б) От I принцип на термодинамиката следва, че работата, която извършва силата на триене за време $t$ :

A = kR^2v^2s \qquad \textbf{[0,5 т]}

се трансформира в количество топлина, което топчето отдава на въздуха:

Q = \left(aR + bR^2v\right)\left(T - T_0\right)t\,. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Като вземем предвид, че:

s = vt\,, \qquad \textbf{[0,5 т]}

получаваме:

kR^2v^3 = \left(aR + bR^2v\right)\left(T - T_0\right). \qquad \textbf{[0,5 т]}

Следователно:

T = T_0 + \frac{kRv^3}{a + bRv} \approx 69\ \mathrm{^\circ C}\,. \qquad \textbf{[1 т]}

В) Топчето достига скорост, при която се уравновесяват силата на тежестта и силата на съпротивление:

kR^2v^2 = mg\,. \qquad \textbf{[1 т]}

Като вземем предвид, че:

m = \rho V = \frac{4}{3}\pi R^3\rho\,, \qquad \textbf{[0,5 т]}

Намираме установената скорост на спускане:

v = \sqrt{\frac{4\pi\rho gR}{3k}} = 90{,}4\ \mathrm{m/s}\,. \qquad \text{(Междинната числена стойност не е задължителна)} \qquad \textbf{[1 т]}

След като заместим тази стойност във формулата, изведена в т. Б, намираме:

T = T_0 + \frac{kRv^3}{a + bRv} \approx 22{,}5\ \mathrm{^\circ C} \qquad \text{(за числена стойност)} \qquad \textbf{[0,5 т]}

Оригинал в Архива: NOF3_2012_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2012_8solutions.pdf