Съдържание

НОФ 2013, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 3. Триъгълна вълна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2013

Олимпиада по физика 2013, Национален кръг, Силистра — тема за 10-12 клас · 20 април 2013 г. · 15 т.

Условие

Неразтеглив шнур е закрепен неподвижно в единия си край, а към другия му край е приложена постоянна сила на опън T. Шнурът минава без триене през две неподвижни халки, разположени на разстояние 2L една от друга, както е показано на фиг. 2 (а).

Две схеми на опънат шнур: горе — шнур между две халки с вертикална сила F в средата, образуваща триъгълник с височина A и основа 2L; долу — ръка, създаваща триъгълен импулс PRQ с върх R, височина A и основа 2L, движещ се със скорост u надясно към стена. — Фиг. 2. (а) Шнур, опънат със сила $T$ , минаващ през две халки на разстояние $2L$ , с приложена в средата сила $F$ , която създава „триъгълник“ с височина $A$ . (б) Триъгълен вълнов импулс $PRQ$ с дължина $2L$ и амплитуда $A$ , движещ се със скорост $u$ по шнура.

Упътване. Действието на земното привличане върху шнура се пренебрегва.

а) Каква сила F, перпендикулярна на шнура, трябва да бъде приложена по средата между двете халки, така че шнурът да образува „триъгълник” с височина (амплитуда) A? [2 т.]

б) Ако приемете, че $A \ll L$ , покажете, че потециалната енергия W на шнура има вида:

W = CA^2

и изразете константата C чрез въведените параметри T и L. [2,5 т.]

в) Халките, ограничаващи шнура, са махнати и шнурът е опънат със същата сила T. Човекът, държащ свободния край на шнура, прави камшично движение с ръката си, в резултат на което по шнура започва да се движи със скорост u триъгълен вълнов импулс PRQ с дължина 2L и амплитуда A (фиг. 2 (б)). Масата на единица дължина от шнура е μ.

Изразете скоростите $v_{PR}$ и $v_{QR}$ на точките от участъците PR и RQ съответно чрез u, A и L. Изобразете на чертеж посоките на тези скорости. [4,5 т.]

г) Покажете, че при $A \ll L$ кинетичната енергия K на вълновия импулс е:

K = DA^2

и изразете константата D чрез параметрите u, μ и L. [3 т.]

д) Оказва се, че при разпространение на бягаща вълна кинетичната енергия на частиците от средата е равна на потенциалната им енергия, независимо от вида на средата и типа на вълната. Като използвате този факт, пресметнете скоростта u на триъгълния вълнов импулс, ако шнурът има напречно сечение S = 1 mm $^2$ и е изработен от материал с плътност ρ = 1600 kg/m $^3$ . Силата на опън на шнура е T = 100 N. [3 т.]

Отговори

Решение

а) На фигурата са показани силите, действащи на малък участък от шнура около неговия връх. От условието за равновесие по оста Y имаме:

F = 2T\sin\alpha. \qquad \textbf{[1,0 т.]}

От друга страна: $\ \sin\alpha = \dfrac{A}{\sqrt{A^2+L^2}}$ . [0,5 т.]

Следователно: $\ F = \dfrac{2TA}{\sqrt{A^2+L^2}}$ . [0,5 т.]

б) При малко отклонение на шнура, амплитудата $A$ в знаменателя може да бъде пренебрегната в сравнение с дължината L. Тогава: $\ F \approx \dfrac{2TA}{L}$ , [0,5 т.] т.е. силата е квазиеластична с ефективен коефициент на еластичност: $k = \dfrac{2T}{L}$ . [0,5 т.]

Следователно потенциалната енергия на деформация на шнура е: $W = \dfrac{kA^2}{2} = \dfrac{TA^2}{L}$ , [1,0 т.] т.е. $C = T/L$ . [0,5 т.]

в) Да разгледаме малко преместване $\Delta x$ на вълновия импулс в продължение на време $\Delta t$ : $\ \Delta x = u\Delta t$ . [0,5 т.]

Както се вижда от чертежа, точките от участъка QR се издигат нагоре на еднакви разстояния: $\ \Delta y = \Delta x\tan\alpha = u\tan\alpha\,\Delta t$ . [1,0 т.]

Като вземем предвид, че: $\ \tan\alpha = \dfrac{A}{L}$ , [0,5 т.] получаваме: $\ v_{QR} = \dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{uA}{L}$ . [1,0 т.]

За същия интервал точките от участъка PR се спускат надолу на същото разстояние. Следователно: $\ v_{PR} = -\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = -\dfrac{uA}{L}$ . [0,5 т.] За чертеж [1,0 т.]

Триъгълен импулс с върх R и основа P–Q, начертан плътно, и същият импулс, изместен надясно с Δx, начертан пунктирано; стрелки надолу (−Δy) вляво от върха и нагоре (Δy) вдясно от върха. — Чертеж към подусловие в): импулсът $PRQ$ след преместване $\Delta x$ (пунктир) — точките от $QR$ се издигат с $\Delta y$ , а точките от $PR$ се спускат с $-\Delta y$ .

г) Общата дължина на участъка PRQ е $\ l = 2\sqrt{A^2+L^2}$ , [0,5 т.] а масата му: $\ m = 2\mu\sqrt{A^2+L^2}$ . [0,5 т.]

Всички точки от този участък се движат с еднакви по големина скорости $\ v = \dfrac{uA}{L}$ .

Следователно кинетичната енергия на участъка е: $K = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{\mu\sqrt{A^2+L^2}\,u^2A^2}{L^2}$ . [1,0 т.]

Ако пренебрегнем $A$ в сравнение с L, получаваме $K = \dfrac{\mu u^2A^2}{L}$ , [0,5 т.] т.е. $D = \dfrac{\mu u^2}{L}$ . [0,5 т.]

д) От условието $W = K$ намираме: $\ u = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$ . [1,0 т.]

Участък от шнура с дължина $l$ има маса $m = \rho Sl$ , т.е. $\ \mu = \dfrac{m}{l} = \rho S$ . [1,0 т.]

Окончателно намираме: $\ u = \sqrt{\dfrac{T}{\rho S}} = 250\ \mathrm{m/s}$ . [1,0 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2013_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2013_10-12solutionsD1.pdf