НОФ 2013, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 1. Топче и призма

• а) $u = \frac{2\mu v_0\cos\alpha}{1+\mu}\sin\alpha = \frac{\mu v_0\sin 2\alpha}{1+\mu},\qquad \mu=\frac{m}{M},\ v_0=\sqrt{2gh}$

  $u_0 = \dfrac{2\mu v_0\cos\alpha}{1+\mu}$ е скоростта на призмата по нормалата към наклонената равнина; хоризонталната ѝ проекция дава $u$.

• б) $V = \sqrt{v_0^2\sin^2\alpha + v^2} = \frac{v_0}{1+\mu}\sqrt{1+\mu^2-2\mu\cos 2\alpha},\qquad v=\frac{(1-\mu)v_0\cos\alpha}{1+\mu}$

• в) $t_x = \frac{2(v+u\sin\alpha)}{g(\cos\alpha+k\sin\alpha)} = \frac{2(1-\mu\cos 2\alpha)}{(1+\mu)(1+k\tan\alpha)}\sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 0{,}40\ \mathrm{s}$

• г) $l = \frac{4h(1-\mu\cos 2\alpha)\left[(1+\mu)\sin 2\alpha - k\cos 2\alpha + \mu k\right]}{\cos\alpha\,(1+\mu)^2(1+k\tan\alpha)^2} = 1{,}62\ \mathrm{m}$

а) Топчето пада със скорост $v_0 = \sqrt{2gh}$ [1 т.] върху призмата и отскача еластично от наклонената равнина, което води до уравненията:

където $u_0$ е скоростта на призмата (перпендикулярна на наклонената равнина), а $v$ е новата нормална компонента на скоростта на топчето. Получава се, че $u_0 = \dfrac{2\mu v_0\cos\alpha}{1+\mu}$, [1 т.] където $\mu = \dfrac{m}{M}$. Първоначалната скорост на движение надясно на призмата е $u = \dfrac{2\mu v_0\cos\alpha}{1+\mu}\sin\alpha = \dfrac{\mu v_0\sin 2\alpha}{1+\mu}$. [1 т.]

б) От горните уравнения следва също, че $v = \dfrac{(1-\mu)v_0\cos\alpha}{1+\mu}$. [1 т.] Големината на скоростта на топчето след удара е $V = \sqrt{v_0^2\sin^2\alpha + v^2} = \dfrac{v_0}{1+\mu}\sqrt{1+\mu^2-2\mu\cos 2\alpha}$. [1 т.]

в) За удобство преминаваме в отправната система, показана на фиг. 1, в която призмата е неподвижна. [1 т.] В тази отправна система движението на топчето след отскачането му от наклонената равнина е като на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. [1 т.] Началната скорост на топчето ще има компоненти $v_{0x} = v_0\sin\alpha + u\cos\alpha$ и $v_{0y} = v + u\sin\alpha$. [1 т.] Силата на тежестта, действаща върху топчето, има компоненти $G_x = mg\sin\alpha$ и $G_y = -mg\cos\alpha$. Поради равнозакъснителното движение на призмата в абсолютната отправна система топчето ще притежава и ефективно инерчно ускорение с компоненти в избраната от нас отправна система $a_x = -kg\cos\alpha$ и $a_y = -kg\sin\alpha$. [1 т.] Уравненията на движение на топчето придобиват вида:

За да намерим търсеното време $t_x$, полагаме $y = (v + u\sin\alpha)t - g(\cos\alpha + k\sin\alpha)t^2/2 = 0$, от което следва, че

г) Разстоянието $l$ между положенията на двата удара се намира, като се положи намереното време от предишната подточка в уравнението за движение по $x$: