НОФ 2014, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Часовник с махало в изкачващ се аеростат

• $h = \frac{a g t_0^2}{2(g+a)} \approx 353\ \mathrm{m}$

Когато часовникът е на земята, за време $t$ аеростатът се издига равноускорително без начална скорост на височина $h = at^2/2$. [1 т.] Тогава неговият период на трептене е

[1 т.]

Когато часовникът се движи с аеростата, неговият период на трептене се променя и става

[1 т.]

Наистина, от уравнението на движение за масата $m$ на махалото, когато то е неподвижно, имаме ($R$ е силата на реакция)

[1 т.]

т.е. трептенето на махалото ще става при променено земно ускорение $g \to g + a$. Тъй като $\overline{T} < T$ [0,5 т.], часовникът на аеростата ще избързва и показанието му $t_0 > t$ [0,5 т.], т.е.

[1 т.]

Корекцията $\Delta t$ се определя от разликата при едно трептене $T - \overline{T}$ [0,5 т.] и броят на трептенията $N = t_0/T$ [0,5 т.], при което имаме

[1 т.]

Тогава търсеното време $t$ е равно на

[1 т.]

а за височината $h$ намираме

[1 т.]