Съдържание

НОФ 2014, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2014

Национална олимпиада по физика 2014, национален кръг, тема за 10. – 12. клас (ден 1) · 11 април 2014 г. · 15 т.

Условие

В задачата част А и част Б са независими.

Част А. Във вертикален цилиндричен съд под и над подвижното бутало се намират еднакви количества идеален газ (фиг. 2.1.) Буталото се движи в цилиндъра без триене. При началната температура отношението на обемите на двата газа е $V_1^A/V_1^B = n$ . На колко ще бъде равно отношението $x = V_2^A/V_2^B$ , когато температурата е $k$ пъти по-голяма от началната температура? [9 т.]

Фиг. 2.1. Вертикален цилиндричен съд с подвижно бутало; газ $A$ над буталото и газ $B$ под него.

Фиг. 2.2. Цикличният процес в координати $P$–$T$. — Фиг. 2.2. Цикличният процес в координати $P$ – $T$ .

Част Б, А) На фиг. 2.2. е представен цикличен процес, който се извършва с фиксирано количество идеален газ.

Намерете чрез построение точките от графиката на процеса, в които обемът на газа е минимален и максимален. Обяснете построението. [4 т.]

Част Б, Б) Определете участъците от цикличния процес, на който газът се разширява и на който се свива. [2 т.]

Отговори

Решение

Част А. При начална температура $T_1$ от уравнението на състояние на всеки газ следва

p_1^A V_1^A = C T_1,\qquad p_1^B V_1^B = C T_1,

[1 т.]

откъдето получаваме

\frac{V_1^A}{V_1^B} = \frac{p_1^B}{p_1^A} = n.

[0.5 т.]

Аналогично при крайна температура $T_2$ имаме

p_2^A V_2^A = C T_2,\qquad p_2^B V_2^B = C T_2,

[1 т.]

откъдето следва

\frac{V_2^A}{V_2^B} = \frac{p_2^B}{p_2^A} = x.

[0.5 т.]

Тъй като обемът на цилиндъра е постоянен, в сила е равенството

V_1^A + V_1^B = V_2^A + V_2^B \quad\text{или}\quad V_1^A\left(1+\frac{1}{n}\right) = V_2^A\left(1+\frac{1}{x}\right),

[1 т.]

а понеже силата на тежестта, действаща на буталото, се уравновесява от силите, породени от налягането, имаме

p_1^B - p_1^A = p_2^B - p_2^A \quad\text{или}\quad p_1^A(n-1) = p_2^A(x-1).

[1 т.]

От почленното умножение на равенствата получаваме

p_1^A V_1^A\,\frac{n^2-1}{n} = p_2^A V_2^A\,\frac{x^2-1}{x},

[1 т.]

което можем да препишем във вид на квадратно уравнение

\frac{x^2-1}{x} = \frac{n^2-1}{n}\,\frac{T_1}{T_2} = \frac{n^2-1}{nk},

[1 т.]

откъдето намираме

x = \frac{n^2-1}{nk} + \sqrt{\left(\frac{n^2-1}{2nk}\right)^2 + 1}.

[2 т.]

Част Б. А) Тъй като графиката на изобарния процес е част от права, минаваща през началото на $p-T$ диаграмата [0,5 т.], търсените състояния (точки) се получават като общи точки на графиката на изобарен процес и цикличния процес [0,5 т.]. Понеже от уравнението на състояние на идеалния газ $p/T \sim 1/V$ [1 т.], допирателната 1 определя обема $V_{\min}$ , докато допирателната 2 – обема $V_{\max}$ (вж. фигурата). [2 т.]

Допирателните 1 и 2 през началото на $p-T$ диаграмата определят състоянията с $V_{\min}$ и $V_{\max}$. — Допирателните 1 и 2 през началото на $p-T$ диаграмата определят състоянията с $V_{\min}$ и $V_{\max}$ .

Б) Газът се разширява в участъка $V_{\min}\to V_{\max}$ [1 т.], а се свива в участъка $V_{\max}\to V_{\min}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2014_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2014_10-12solutionsD1.pdf