Съдържание

НОФ 2014, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 3. Електростатична индукция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2014

Национална олимпиада по физика 2014, национален кръг, тема за 10. – 12. клас (ден 1) · 11 април 2014 г. · 15 т.

Условие

От уроците по физика знаете, че ако поставите електронеутрално парче метал във външно електростатично поле, върху повърхността на метала се натрупват индуцирани заряди. Знаете ли обаче колко бързо се натрупват тези заряди? Ами няма ли електроните в метала да „свършат”, ако приложеното поле е прекалено силно? Тази задача ще ви помогне да си отговорите на тези въпроси.

Електронеутрална медна пластинка с дебелина $d = 1\ \mathrm{mm}$ и площ $S = 10\ \mathrm{cm^2}$ е поставена във външно електрично поле с интензитет $E_0 = 3\cdot 10^6\ \mathrm{V/m}$ , насочен перпендикулярно на пластината.

Медната пластинка с дебелина $d$ и площ $S$ във външно поле $E_0$, перпендикулярно на пластината. — Медната пластинка с дебелина $d$ и площ $S$ във външно поле $E_0$ , перпендикулярно на пластината.

Данни:

Електрична константа, $\varepsilon_0 = 8{,}85\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ ;

Елементарен електричен заряд, $e = 1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ ;

Специфично съпротивление на медта, $\rho = 1{,}68\times 10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm{m}$ ;

Плътност на медта, $\rho_w = 8{,}90\times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ ;

Маса на атома на медта, $M = 1{,}0\times 10^{-25}\ \mathrm{kg}$ .

А) Пречертайте фигурата и означете знаците на ивдуцираните заряди върху горната и долната повърхност на пластината. Дайте кратка (1–3 изречения) обосновка защо сте избрали тези знаци на зарядите. Приемете, че върху страничните повърхности не се натрупват заряди. [2 т.]

Б) Намерете големината $Q$ на зарядите, индуцирани върху горната и долната повърхност след установяване на електростатично равновесие. [5 т.]

В) Каква относителна част $\eta$ от свободните електрони в пластинката се натрупват върху нейната повърхност?

Приемете, че всеки атом на медта отдава един свободен електрон. [3 т.]

Г) Веднага след поставянето на пластината във външното поле, върху повърхността й все още няма натрупани заряди. Какъв ток $I$ протича между горната и долната повърхност на пластината в този момент?

Не разглеждайте ефекти, свързани с индуктивността на системата и с инертността на електроните. [3 т.]

Д) Приблизително за колко време $t$ ще се натрупат индуцираните заряди върху повърхността? Посочете накратко (1–3 изречения) защо вашата оценка за времето е приблизителна. [2 т.]

Отговори

Решение

А) Знаците на индуцираните заряди са показани на фигурата. [1 т]

Знаците на индуцираните заряди: отрицателни върху горната и положителни върху долната повърхност на пластината.

Електроните, като отрицателно заредени частици, започват да се движат в посока, противоположна на посоката на интензитета и се натрупват по горната повърхност на пластината. Върху долната повърхност остава некомпенсиран положителен заряд. [1 т]

Б) Зарядите се натрупват по повърхността, докато създаденото от тях поле $\mathbf{E}_{\mathrm{ind}}$ не компенсира изцяло външното поле:

E_{\mathrm{ind}} = E_0

[1 т]

Електричното напрежение, дължащо се на това поле е:

U = E_{\mathrm{ind}} d = E_0 d

[1 т]

Ако разгледаме двете повърхности на пластинката като плосък кондензатор, намираме за големината на натрупания заряд:

Q = CU = C E_0 d

[1 т]

където $C$ е капацитетът на кондензатора. Като вземем предвид формулата за капацитет на плосък кондензатор, намираме:

Q = \epsilon_0 S E_0

[1 т]

Като заместим с числените данни, получаваме:

Q = 8{,}85\cdot 10^{-12}\,\mathrm{F/m}\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}\cdot 3\cdot 10^{6}\,\mathrm{V/m} \approx 2{,}7\cdot 10^{-8}\,\mathrm{C}

[1 т]

В) Върху горната повърхност са натрупани:

N_{\mathrm{ind}} = \frac{Q}{e} = 1{,}7\cdot 10^{11}\ \text{електрона}

[1 т]

Общият брой електрони в пластинката е равен на общия брой атоми $N$ . За да го определим, първо определяме масата на пластината:

m = \rho_w S\, d = 8{,}9\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg}

[1 т]

откъдето:

N = \frac{m}{M} = 8{,}9\cdot 10^{22}\ \text{електрона}

[0,5 т]

Окончателно намираме:

\eta = \frac{N_{\mathrm{ind}}}{N} = 1{,}9\cdot 10^{-12}

[0,5 т]

т.е. индуцираните върху повърхността на метала електрони са на много порядъци по-малко от общия брой свободни електрони.

Г) Можем да разглеждаме пластината като проводник с дължина $d$ и напречно сечение $S$ , и съответно със съпротивление:

R = \frac{\rho d}{S}

[1 т]

Токът, който ще тече веднага след поставянето в електрично поле е:

I = \frac{U}{R} = \frac{E_0 S}{\rho}

[1 т]

или

I = \frac{3\cdot 10^{6}\,\mathrm{V/m}\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2}}{1{,}68\cdot 10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}} = 1{,}78\cdot 10^{11}\,\mathrm{A}

[1 т]

Д) Ако приемем, че в пластинката тече постоянен ток докато се установи електростатично равновесие, индуцираният заряд ще се натрупа за време:

t = \frac{Q}{I} = \epsilon_0\rho = 1{,}5\cdot 10^{-19}\,\mathrm{s}

[1 т]

Направената оценка е приблизителна, защото при натрупване на заряди върху повърхностите на пластинката, напрежението между тях намалява. Съответно токът намялява, докато стане равен на нула, когато натрупването на заряди се преустанови. [1 т]

Оригинал в Архива: NOF3_2014_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2014_10-12solutionsD1.pdf