НОФ 2014, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 4

• А) $L = \frac{m}{m+1}L_0,\qquad d_{\min} = 5\lambda = 3\ \mu\mathrm{m}$

  Широчината на процепите не влияе върху положението на главните максимуми.

• Б) $d = \lambda/(\sin\beta_2-\sin\beta_1) \approx 0{,}83\ \mu\mathrm{m}$; наблюдават се три максимума — при $\beta \approx 14^\circ$, $\beta \approx 74^\circ$ и $\beta \approx -29^\circ$; ъгълът на падане е $\alpha = \beta_1 \approx 14^\circ$.

  Според авторското изброяване: 1) $m = 0$, $\beta \approx 14^\circ$; 2) $m = 1$, $\beta \approx -29^\circ$; 3) $m = -1$, $\beta \approx 74^\circ$ (виж бележката към транскрипцията — знаците на $m$ в точки 2) и 3) са разменени спрямо използваното условие за максимум).

А) Големината на процепите на дифракционната решетка не оказва влияние върху положението на главните максимуми. [0,5 т] Условието за дифракционни максимуми е $d\sin\theta = m\lambda$, където $m$ е цяло число. [0,5 т] За малки ъгли $\sin\theta \approx \mathrm{tg}\,\theta \approx x_m/L_0$, където $x_m$ е координатата на $m$-тия максимум при старото разстояние. [0,75 т] Оттук следва, че $x_m = m\lambda L_0/d$. [0,25 т] Аналогично, за координатата $x'_{m+1}$ на $(m+1)$-вия максимум при новото разстояние получаваме $x'_{m+1} = (m+1)\lambda L/d$. [0,25 т] По условие $x'_{m+1} = x_m$. Следователно $\dfrac{(m+1)\lambda L}{d} = \dfrac{m\lambda L_0}{d}$ или $L = \dfrac{m}{m+1}L_0$. [0,5 т] Максимумите от 5-ти порядък се получават при ъгли $\theta$, за които $\sin\theta = \pm 5\lambda/d$. Необходимо е $\dfrac{5\lambda}{d} \le 1$. [0,75 т] Следователно, най-малката константа на решетката, за която това неравенство е изпълнено е $d = 5\lambda = 3\ \mu\mathrm{m}$. [0,5 т]

б) Разликата в ходовете на лъчите, минаващи през два съседни процепа, за ъглите $\beta_1$ и $\beta_2$ е съответно $\Delta_1 = d\left(\sin\beta_1 - \sin\alpha\right)$ и $\Delta_2 = d\left(\sin\beta_2 - \sin\alpha\right)$ (алтернативно: допуска се $\Delta_{1,2} = d\left(\sin\beta_{1,2} + \sin\alpha\right)$ в случай, че е избрана другата страна на нормалата, като решението ще се промени по съответния начин). [1 т] Условието за максимум е $\Delta = m\lambda$, където $m$ е порядъкът на съответния максимум. [0,5 т] Нека под ъгъл $\beta_1$ се наблюдава максимум от порядък $m_0$, а под ъгъл $\beta_2$ се наблюдава максимум от порядък $m_0+1$, т.е. следващият. [0,75 т] Следователно е изпълнено

[0,75 т]

Изваждаме почленно двете уравнения и получаваме $d\left(\sin\beta_2 - \sin\beta_1\right) = \lambda$, откъдето определяме константата на решетката $d = \lambda/\left(\sin\beta_2 - \sin\beta_1\right) \approx 0{,}83\ \mu\mathrm{m}$. [0,75 т] За максимум от произволен порядък $m$ и за максимум от порядък $m_0$ имаме:

където $\beta_m$ е ъгълът, под който се наблюдава максимума от $m$-ти порядък. Изваждаме почленно уравненията и заместваме израза за $d$, при което получаваме $\sin\beta_m = \sin\beta_1 + (m-m_0)\left(\sin\beta_2 - \sin\beta_1\right)$. [1 т] Стойностите на $m$ и $m_0$ трябва да са такива, че $\left|\sin\beta_m\right| \le 1$. [0,75 т] Понеже $\beta_1 \approx 14^\circ$ и $\beta_2 \approx 74^\circ$, горното уравнение става $\sin\beta_m = 0{,}24 + 0{,}72\left(m-m_0\right)$. [0,5 т]

При $m-m_0 = 0$ имаме $\sin\beta_m = \sin\beta_1 = 0{,}24$, т.е. $\beta_m = \beta_1 \approx 14^\circ$. [0,75 т]

При $m-m_0 = 1$ имаме $\sin\beta_m = \sin\beta_2 = 0{,}96$, т.е. $\beta_m = \beta_2 \approx 74^\circ$. [0,75 т]

При $m-m_0 = -1$ имаме $\sin\beta_m = -0{,}48$, т.е. $\beta_m \approx -29^\circ$. [0,75 т]

Други стойности на $m-m_0$ не са позволени. Наблюдават се три максимума. [0,75 т]

Алтернативно: могат да се получат други знаци за ъглите в зависимост от избраната посока на измерването им.

От условието за максимуми $d\left(\sin\beta - \sin\alpha\right) = m\lambda$ определяме порядъците на максимумите:

1. $m = 0$, $\beta = \beta_1 \approx 14^\circ$ [0,5 т]

2. $m = 1$, $\beta = \beta_3 \approx -29^\circ$ [0,5 т]

3. $m = -1$, $\beta = \beta_2 \approx 74^\circ$ [0,5 т]

Ъгълът на падане е $\alpha = \beta_1 \approx 14^\circ$. [0,5 т]