Съдържание

НОФ 2014, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 1. Трупчета върху призма

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2014

Национална олимпиада по физика 2014, национален кръг, тема за 10. – 12. клас (ден 1) · 11 април 2014 г. · 15 т.

Условие

Фиг. 1. Призма с маса $M$ върху идеално гладка равнина; трупчетата $m_1$ и $m_2$ се спускат по двата склона с наклони $\alpha_1$ и $\alpha_2$; $d$ е разстоянието по десния склон. — Фиг. 1. Призма с маса $M$ върху идеално гладка равнина; трупчетата $m_1$ и $m_2$ се спускат по двата склона с наклони $\alpha_1$ и $\alpha_2$ ; $d$ е разстоянието по десния склон.

Върху идеално гладка равнина е поставена призма с маса $M$ , чиито околни стени представляват идеално гладки наклонени равнини, които сключват ъгли $\alpha_1$ и $\alpha_2$ с хоризонта, както е показано на фиг. 1. От най-високата точка на призмата са пуснати без начална скорост две малки трупчета с маси $m_1$ и $m_2$ .

А) Какво би трябвало да е отношението $m_1/m_2$ , за да остане призмата неподвижна? [3 т.]

Б) Намерете израз за големината на ускорението $a_0$ , с което ще се движи призмата преди някое от трупчетата да стигне до хоризонталната плоскост, при произволни стойности на параметрите в задачата. Получете изрази за големините на ускоренията $a_1$ и $a_2$ на трупчетата спрямо призмата. [8 т.]

В) Нека $\alpha_1 = 30^\circ$ , $\alpha_2 = 60^\circ$ , $m_1/M = 0{,}1$ , $m_2/M = 0{,}2$ , а земното ускорение $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . На колко са равни числените стойности на големините на ускоренията $a_0$ , $a_1$ и $a_2$ ? Каква е посоката на движение на призмата? [2 т.]

Г) За колко време $t$ второто (дясното) трупче ще достигне хоризонталната плоскост, ако разстоянието, което трябва да измине, е $d = 50\ \mathrm{cm}$ ? [2 т.]

Отговори

Решение

А) В случая на неподвижна призма големините на силите, с които трупчетата действат на призмата, са $N_1 = m_1 g\cos\alpha_1$ [0,5 т.] и $N_2 = m_2 g\cos\alpha_2$ [0,5 т.] (посоките им са указани на фиг. 1). Хоризонталната компонента на сумата от техните вектори трябва да е равна на нула [0,5 т.], за да е неподвижна призмата, което ни дава условието $m_1\cos\alpha_1\sin\alpha_1 = m_2\cos\alpha_2\sin\alpha_2$ [1 т.], т.е. $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{\cos\alpha_2\sin\alpha_2}{\cos\alpha_1\sin\alpha_1} = \dfrac{\sin(2\alpha_2)}{\sin(2\alpha_1)}$ . [0,5 т.]

Б) Параметрите са произволни, така че ускорението на призмата няма да има фиксирана посока. Нека приемем, че призмата ще се движи наляво. Ако тя се движи надясно, то $a_0$ ще бъде отрицателно, като няма да има промяна в получените изрази. Най-удобно е да се работи в отправна система, свързана неподвижно с призмата. [1 т.] По направленията, успоредни на наклонените равнини, ще имаме уравненията $m_1 a_1 = m_1 g\sin\alpha_1 - m_1 a_0\cos\alpha_1$ [1 т.] и $m_2 a_2 = m_2 g\sin\alpha_2 + m_2 a_0\cos\alpha_2$ . [1 т.] Големините на силите, с които трупчетата действат на призмата, са $N_1 = m_1 g\cos\alpha_1 + m_1 a_0\sin\alpha_1$ [0,5 т.] и $N_2 = m_2 g\cos\alpha_2 - m_2 a_0\sin\alpha_2$ . [0,5 т.] Вторият принцип на механиката, приложен към движението на призмата, дава $M a_0 = N_2\sin\alpha_2 - N_1\sin\alpha_1$ . [1 т.] От последните три уравнения следва, че $a_0 = \dfrac{m_2\sin\alpha_2\cos\alpha_2 - m_1\sin\alpha_1\cos\alpha_1}{M + m_1\sin^2\alpha_1 + m_2\sin^2\alpha_2}\, g$ . [1 т.] Като заместим израза за $a_0$ в първите две уравнения, ще получим, че $a_1 = \dfrac{(M+m_1)\sin\alpha_1 - m_2\sin\alpha_2\cos(\alpha_1+\alpha_2)}{M + m_1\sin^2\alpha_1 + m_2\sin^2\alpha_2}\, g$ [1 т.], а $a_2 = \dfrac{(M+m_2)\sin\alpha_2 - m_1\sin\alpha_1\cos(\alpha_1+\alpha_2)}{M + m_1\sin^2\alpha_1 + m_2\sin^2\alpha_2}\, g$ . [1 т.]

В) Като заместим числените стойности на параметрите в изразите по-горе, ще получим $a_0 = 0{,}37\ \mathrm{m/s^2}$ [0,5 т.], $a_1 = 4{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ [0,5 т.] и $a_2 = 8{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ . [0,5 т.] $a_0$ е положително, така че призмата ще се движи наляво. [0,5 т.]

Г) Трупчето се движи равноускорително без начална скорост, т.е. $d = a_2 t^2/2$ . [1 т.] Оттук $t = \sqrt{2d/a_2} = 0{,}34\ \mathrm{s}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2014_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2014_10-12solutionsD1.pdf