Съдържание

НОФ 2014, III кръг (национален), 7. клас — Задача 2. Топло ли е млякото?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2014

Национална олимпиада по физика 2014, национален кръг, тема за 7. клас · 11 април 2014 г. · 10 т.

Условие

За затоплянето на купичка мляко до определена температура е нужно количество топлина $\mathrm{Q_0} = 35000\ \mathrm{J}$ . Разполагате с котлон, който се захранва от акумулатор с напрежение $\mathrm{U} = 30\ \mathrm{V}$ . Котлонът има два нагревателя (резистора), всеки със съпротивление $\mathrm{R} = 20\ \Omega$ , които могат да бъдат включени само последователно или успоредно към акумулатора (т.е. не може да свържете само един резистор).

На графиката на Фиг. 3 е показана зависимостта между отделеното от котлона количество топлина $\mathrm{Q}$ и температурата на млякото.

Приемете, че отделеното от котлона количество топлина се приема единствено от млякото, а затоплянето на съда и топлообменът с околната среда са пренебрежими.

А) Начертайте схема на нагревателите в положение на последователно и успоредно свързване. В кое положение котлонът би трябвало да грее с по-висока мощност? Обосновете отговора си, като запишете съответните изрази. [2 т.]

Б) Нека с „1” означим положението с по-ниска мощност, а „2” – това с по-високата мощност. Първоначално включвате реотаните в положение „2”. След време $\mathrm{t_2} = 5\ \mathrm{min}$ забелязвате, че поради неизправност, котлонът грее с 5 пъти по-малка мощност от очакваната. Незабавно превключвате в положение „1” и оставяте млякото да се загрява още известно време.

За подточки Б), В) и Г) не забравяйте, че преди превключване на положение „1”, котлонът е бил за време $\mathrm{t_2} = 5\ \mathrm{min}$ в неизправното положение „2”.

За колко време след превключване на положение „1” млякото ще получи необходимото количество топлина $\mathrm{Q_0}$ ? [3 т.]

Права линия в координати температура – количество топлина: започва при около 5 °C за Q = 0 и достига 60 °C при около 55000 J. — **Фиг.** 3 – зависимост на температурата на млякото (в $^\circ\mathrm{C}$ ) от отделеното от котлона количество топлина $Q$ (в $\mathrm{J}$ ).

В) Каква приблизително ще е температурата на млякото, ако го оставите на котлона в положение „1” за $7,4\ \mathrm{min}$ повече от необходимото време в подточка Б)? [2,5 т.]

Г) Известно време след превключване на положение „1” установявате, че температурата на млякото е $30^\circ\,\mathrm{C}$ . Колко време се е топлило млякото на положение „1”? [2,5 т.]

Отговори

Решение

Ако аналитичните изрази са правилни, но числените резултати не са, то се отнемат по 0,1 т за грешен числен резултат.

А) Схемите са дадени на фигурата.

Две електрически схеми: (1) два резистора R последователно в кръг с източник U; (2) два резистора R успоредно, свързани към източник U. — Схеми на нагревателите: (1) последователно свързване, (2) успоредно свързване (отговор на подточка А).

За схемата с успоредно свързване: [0,2 т]

За схемата с последователно свързване: [0,2 т]

Еквивалентното съпротивление в случая на успоредно свързване е:

\mathrm{R_{усп}} = \frac{\mathrm{R}\mathrm{R}}{\mathrm{R}+\mathrm{R}} = \frac{\mathrm{R}}{2} = 10\ \Omega\ \text{.}

[0,25 т]

Еквивалентното съпротивление в случая на последователно свързване е:

\mathrm{R_{посл}} = \mathrm{R}+\mathrm{R} = 2\mathrm{R} = 40\ \Omega\ \text{.}

[0,25 т]

Мощността на котлона в случая на успоредно свързване е:

\mathrm{P_{усп}} = \frac{\mathrm{U}^2}{\mathrm{R_{усп}}} = \frac{2\mathrm{U}^2}{\mathrm{R}} = 90\ \mathrm{W}\ \text{.}

[0,45 т]

Мощността на котлона в случая на последователно свързване е:

\mathrm{P_{посл}} = \frac{\mathrm{U}^2}{\mathrm{R_{посл}}} = \frac{\mathrm{U}^2}{2\mathrm{R}} = 22{,}5\ \mathrm{W}\ \text{.}

[0,45 т]

Котлонът грее с по-голяма мощност при успоредно свързване на нагревателите. [0,2 т]

Положението с последователно свързване на нагревателите се означава с „1”, а това с успоредно свързване – с „2”, както е показано на фигурата.

Б) В неизправното положение „2” котлонът грее с мощност:

\frac{1}{5}\mathrm{P_{усп}} = 18\ \mathrm{W}\ \text{.}

[0,5 т]

Млякото се топли на тази мощност за време:

\mathrm{t_2} = 5\ \mathrm{min} = 5\cdot 60\ \mathrm{s} = 300\ \mathrm{s}\ \text{.}

[0,5 т]

Отделеното количество топлина за това време е:

\mathrm{Q_2} = \frac{1}{5}\mathrm{P_{усп}}\mathrm{t_2} = 5400\ \mathrm{J}\ \text{.}

[0,6 т]

Количеството топлина, което млякото трябва да получи от котлона в положение „1” е:

\mathrm{Q_1} = \mathrm{Q_0}-\mathrm{Q_2} = 29600\ \mathrm{J}\ \text{.}

[0,7 т]

Количеството топлина $\mathrm{Q_1}$ се отделя от котлона в положение „1” за време:

\mathrm{t_1} = \frac{\mathrm{Q_1}}{\mathrm{P_{посл}}} \approx 1315\ \mathrm{s}\quad (\text{алтернативно: } \mathrm{t_1} \approx 22\ \mathrm{min})\ \text{.}

[0,7 т]

В) Млякото се топли в положение „1” за допълнително време:

\mathrm{t_{доп}} = 7,4\cdot 60\ \mathrm{s} = 444\ \mathrm{s}\ \text{.}

[0,5 т]

За това време котлонът (в положение „1”) отдава допълнително количество топлина:

\mathrm{Q_{доп}} = \mathrm{P_{посл}}\mathrm{t_{доп}} = 9990\ \mathrm{J}\ \text{, т.е. приблизително } 10000\ \mathrm{J}\ \text{.}

[0,6 т]

Общо за целия си престой на котлона млякото получава количество топлина:

\mathrm{Q} = \mathrm{Q_0}+\mathrm{Q_{доп}} = 44990\ \mathrm{J} \approx 45000\ \mathrm{J}\ \text{.}

[0,6 т]

Според графиката, на това количество топлина отговаря температура от $50^\circ\,\mathrm{C}$ . [0,8 т]

Г) На температурата от $30^\circ\,\mathrm{C}$ отговаря получено количество топлина от $25000\ \mathrm{J}$ . [0,8 т]

Млякото е получило $\mathrm{Q_2} = 5400\ \mathrm{J}$ от положение „2”. Следователно, от престоя си на положение „1”, млякото е получило:

\mathrm{Q_{ост}} = \mathrm{Q_0}-\mathrm{Q_2} = 19600\ \mathrm{J}\ \text{.}

[0,8 т]

При съответната мощност, отделянето на това количество топлина става за време:

\mathrm{t_{ост}} = \frac{\mathrm{Q_{ост}}}{\mathrm{P_{посл}}} = \frac{19600\ \mathrm{J}}{22{,}5\ \mathrm{W}} \approx 871\ \mathrm{s}\quad (\text{алтернативно: } \mathrm{t_{ост}} \approx 14{,}5\ \mathrm{min})\ \text{.}

[0,9 т]

Бележка на транскрипцията: в последния израз в оригинала е отпечатано $\mathrm{Q_{ост}} = \mathrm{Q_0}-\mathrm{Q_2}$ , но $\mathrm{Q_0} = 35000\ \mathrm{J}$ ; по смисъл се използва отчетеното от графиката количество топлина $25000\ \mathrm{J}$ , откъдето $25000 - 5400 = 19600\ \mathrm{J}$ .

Оригинал в Архива: NOF3_2014_7problems.pdf · официални решения: NOF3_2014_7solutions.pdf