Съдържание

Условие Отговори Решение

НОФ 2015, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Къде се вижда камъчето?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2015

Областен кръг на олимпиадата по физика 2015, възрастова група 10.-12. клас · 15 февруари 2015 г. · 10 т.

Условие

(две независими подзадачи)

Показателят на пречупване на въздуха е $n_0 = 1{,}00$ .

Полезна математика:

$\sin\alpha \approx \tan\alpha$ ; при $\alpha \ll 1$ , ако $\alpha$ се измерва в радиани

А. На дъното на басейн с дълбочина $h$ се намира малко камъче. Наблюдавате камъчето надвесени над басейна точно над него. На каква дълбочина $h_1$ ще ви се струва, че се намира камъчето? [4 т.] Изчислете $h_1$ , ако $h = 1\ \mathrm{m}$ , а показателят на пречупване на водата е $n = 1{,}33$ . [5 т.]

Б. На дъното на басейн, запълнен с две несмесващи се течности, съответно с дебелини $h_2$ (горен слой) и $h_3$ (долен слой) и показатели на пречупване $n_2$ и $n_3$ , се намира малко камъче. Наблюдавате камъчето надвесени над басейна точно над него. На каква дълбочина $h_4$ ще ви се струва, че се намира камъчето? [4 т.] Изчислете $h_4$ , ако $h_2 = 0{,}4\ \mathrm{m}$ , $h_3 = 0{,}6\ \mathrm{m}$ , $n_2 = 1{,}33$ и $n_3 = 1{,}50$ . [5 т.]

Отговори

Решение

Лъч от точка S на дъното се пречупва на границата вода–въздух под ъгъл α; продължението му назад дава образа S1 на дълбочина h1. — Чертежът вляво (подзадача А): камъчето $S$ на дълбочина $h$ под водата с показател на пречупване $n$ и мнимият образ $S_1$ на дълбочина $h_1$ .

Лъч от S се пречупва на границата между двете течности под ъгли δ и β, после на границата с въздуха под ъгъл α; продължението назад дава образа S1 на дълбочина h4. — Чертежът вдясно (подзадача Б): двата слоя с дебелини $h_2$ и $h_3$ и показатели $n_2$ и $n_3$ ; образът $S_1$ е на дълбочина $h_4$ .

Образът на камъчето ще се вижда там, където се пресичат продълженията на лъчите, идващи от него, и влизащи в окото (очите) на наблюдателя.

А. От чертежа вляво се вижда, че $\frac{x}{h} = \tan\beta$ [0.5 т.] и $\frac{x}{h_1} = \tan\alpha$ [0.5 т.]. Следователно $h_1 = h\frac{\tan\beta}{\tan\alpha}$ [1.0 т.]. От закона на Снелиус следва, че $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n}{n_0}$ . [1.0 т.] Използвайки, че ъглите са малки, $h_1 = h\frac{\tan\beta}{\tan\alpha} \approx h\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} = h\frac{n_0}{n}$ . [1.0 т.] Замествайки с дадените стойности, $h_1 = 1\,\mathrm{m}\cdot\frac{1{,}00}{1{,}33} \approx 0{,}75\ \mathrm{m}$ [1.0 т.].

Б. От чертежа вдясно се вижда, че $\frac{x+y}{h_4} = \tan\alpha$ [0.5 т.], $\frac{x}{h_2} = \tan\beta$ [0.5 т.] и $\frac{y}{h_3} = \tan\delta$ [0.5 т.]. Следователно $h_4 = h_2\frac{\tan\beta}{\tan\alpha} + h_3\frac{\tan\delta}{\tan\alpha}$ [0.5 т.]. От закона на Снелиус следва, че $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_0}$ [0.5 т.] и $\frac{\sin\beta}{\sin\delta} = \frac{n_3}{n_2}$ . [0.5 т.] Използвайки, че ъглите са малки, $h_4 = h_2\frac{\tan\beta}{\tan\alpha} + h_3\frac{\tan\delta}{\tan\alpha} \approx h_2\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} + h_3\frac{\sin\delta}{\sin\alpha} = h_2\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} + h_3\frac{\sin\delta}{\sin\alpha}\frac{\sin\beta}{\sin\beta}$ , откъдето се получава $h_4 = h_2\frac{n_0}{n_2} + h_3\frac{n_0}{n_3}$ . [1.0 т.]. Замествайки с дадените стойности, $h_4 = 0{,}4\mathrm{m}\cdot\frac{1{,}00}{1{,}33} + 0.6\cdot\frac{1{,}00}{1{,}50} \approx 0{,}70\ \mathrm{m}$ [1.0 т.].

Оригинал в Архива: NOF2_2015_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2015_10-12solutions.pdf