Съдържание

НОФ 2015, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 2. КПД на фотоклетка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2015

Национална олимпиада по физика 2015, национален кръг, тема за 10.–12. клас (първи ден) · 6 април 2015 г. · 15 т.

Условие

Схема на фотоклетка с прозрачен анод А отгоре и катод К отдолу, разделени на разстояние d — Фотоклетката: прозрачен анод А, върху който пада светлина с дължина на вълната $\lambda$ и мощност $P_0$ , и катод К на разстояние $d$ от него.

Фотоклетка се състои от два плоски успоредни електрода – катод К с отделителна работа $W = 2.0\ \mathrm{eV}$ и прозрачен анод А, който изцяло пропуска падащата светлина. Площта на електродите е $S = 5\ \mathrm{cm}^2$ , а разстоянието между тях е $d = 1\ \mathrm{mm}$ . Върху фотоклетката пада сноп монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda = 500\ \mathrm{nm}$ и с мощност $P_0 = 0.01\ \mathrm{W}$ .

Данни

скорост на светлината във вакуум: $c = 3.00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ;
елементарен електричен заряд: $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ ;
електрична проницаемост на вакуума: $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ ;
константа на Планк: $h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ .

А) Фотоклетката не е свързана в електрическа верига. Колко е напрежението $U_0$ между електродите й в този случай? Означете на чертеж полярностите на двата електрода и пресметнете заряда $Q$ , натрупан върху тях. [2,5 т.]

Б) Фотоклетката се характеризира с т.нар. „квантова ефективност” $k = N_{\mathrm{e}}/N_{\mathrm{ф}}$ , която се дефинира като отношението на броя избити от катода електрони $N_{\mathrm{e}}$ към броя паднали фотони $N_{\mathrm{ф}}$ . Максималната теоретично възможна квантова ефективност на фотоклетка се дава с израза:

k = 1 - \frac{\lambda}{\lambda_{\max}}

където $\lambda_{\max}$ е червената граница на фотоефекта за катода. Пресметнете квантовата ефективност на дадената фотоклетка, ако приемете, че тя е равна на максималната теоретична стойност. [1,5 т.]

В) Електродите на фотоклетката са свързани накъсо чрез проводник с нулево съпротивление. Пресметнете тока $I_0$ , който тече във веригата в този случай. [3 т.]

Г) Когато мощността на падащата светлина е постоянна, фотоклетката е еквивалентна на източник с постоянно електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ и с определено вътрешно съпротивление r. Определете $\mathcal{E}$ и r на фотоклетката при дадената мощност на падащата светлина. [3 т.]

Д) Към електродите на фотоклетката е свързан консуматор със съпротивление $R$ . Коефициентът на полезно действие (КПД) на фотоклетката се дефинира като отношението:

\eta = \frac{P_R}{P_0}

където $P_R$ е мощността на тока през консуматора. При какво съпротивление на консуматора КПД на фотоклетката е максимален? Изразете максималния КПД $\eta_{\max}$ чрез данните от условието и пресметнете неговата стойност. [5 т.]

Отговори

Решение

А) Енергията на падащите фотони е:

$(1)\qquad E_{\mathrm{ф}} = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda} = 3.98\times10^{-19}\ \mathrm{J} = 2.49\ \mathrm{eV}$ — 0,5 точки

От уравнението на Айнщайн намираме максималната кинетична енергия на отделените електрони:

$(2)\qquad E_{\mathrm{k}} = h\nu - W = 0.49\ \mathrm{eV}$ — 0,5 точки

Катодът губи електрони и се зарежда положително, а анодът се зарежда отрицателно, защото върху него попадат избитите електрони. Електродите се зареждат дотогава, докато напрежението между тях достигне спирачното напрежение:

$(3)\qquad U_0 = \dfrac{E_{\mathrm{k}}}{e} = 0.49\ \mathrm{V}$ — 0,5 точки

Можем да разглеждаме фотоклетката като кондензатор с капацитет:

$(4)\qquad C = \dfrac{\epsilon_0 S}{d} = 4.43\times10^{-12}\ \mathrm{F}$ — 0,5 точки

Следователно зарядите върху електродите са:

$(5)\qquad Q = \pm CU_0 = \pm 2.17\times10^{-12}\ \mathrm{C}$ — 0,5 точки

Б) Червената граница съответства на минималната енергия на фотон, който може да избие електрон от катода:

$(6)\qquad \dfrac{hc}{\lambda_{\max}} = W$ — 0,5 точки

От друга страна, дължината на падащата светлинна вълна е свързана с вече пресметнатата в уравнение (1) енергия $E_{\mathrm{ф}}$ на падащите фотони. Следователно можем да запишем формулата за квантовата ефективност във вида:

$(7)\qquad k = 1 - \dfrac{W}{E_{\mathrm{ф}}} = 0.20\ (20\%)$ — 1 точка

В) За време $t$ падащата светлина пренася енергия $E = P_0 t$ . Следователно за същото време върху катода падат:

$(8)\qquad N_{\mathrm{ф}} = P_0 t/E_{\mathrm{ф}}$ — 1 точка

фотона. Тези фотони избиват:

$(9)\qquad N_{\mathrm{e}} = kN_{\mathrm{ф}} = \dfrac{kP_0 t}{E_{\mathrm{ф}}}$ — 1 точка

електрона. При късо съединение напрежението между електродите на клетката е нула и всички избити електрони попадат върху анода. При това те пренасят заряд $q = eN_{\mathrm{ф}}$ и създават електричен ток:

$(10)\qquad I_0 = \dfrac{q}{t} = \dfrac{ekP_0}{E_{\mathrm{ф}}} = \dfrac{kP_0}{E_{\mathrm{ф}}\,[\mathrm{eV}]} = 8.0\times10^{-4}\ \mathrm{A}$ — 1 точка

Г) Напрежението между клемите на източника зависи от протичащия през него ток:

$(11)\qquad U = \mathcal{E} - Ir$ — 1 точка

При отворена верига ( $I = 0$ ) напрежението между клемите на източника е равно на електродвижещото му напрежение. Следователно:

$(12)\qquad \mathcal{E} = U_0 = 0{,}49\ \mathrm{V}$ — 1 точка

При късо съединение, $U = 0$ , получаваме:

$(13)\qquad r = \dfrac{\mathcal{E}}{I_0} \approx 613\ \Omega$ — 1 точка

Д) Мощността на консуматора е:

$(14)\qquad P_R = UI = I(\mathcal{E} - Ir)$ — 1 точка

В консуматора се отделя максимална мощност, когато във веригата тече ток:

$(15)\qquad I = \dfrac{\mathcal{E}}{2r} = \dfrac{I_0}{2}$ — 1 точка

Такъв ток тече, когато съпротивлението на консуматора е равно на вътрешното съпротивление на източника. Следователно:

$(16)\qquad R = r = 613\ \Omega$ — 0,5 точки

Съответно максималната мощност е:

$(17)\qquad P_{R\max} = \dfrac{\mathcal{E}^2}{4r} = \dfrac{1}{4}U_0 I_0\ (\approx 9.8\times10^{-5}\ \mathrm{W})$ — 0,5 точки

Понеже мощността на падащото лъчение не зависи от съпротивлението на консуматора, максимален КПД съответства на максимална мощност на консуматора. Следователно:

$(18)\qquad \eta_{\max} = \dfrac{P_{R\max}}{P_0} = \dfrac{(E_{\mathrm{ф}}-W)^2}{4E_{\mathrm{ф}}^2} = \dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{W\lambda}{hc}\right)^2 = 9.8\times10^{-3} \approx 1\%$ — 2 точки

Оригинал в Архива: NOF3_2015_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2015_10-12solutionsD1.pdf