НОФ 2015, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 3. Бипризма на Френел

• А) Успореден – процепът (източник на светлина за лещата) се намира във фокуса на събирателната леща.
• Б) $\varphi \approx (n-n')\theta$
• В) $\Delta y = \frac{\lambda}{\beta}$
• Г) $\Delta x = \frac{\lambda}{2\varphi} = \frac{\lambda}{2(n-n')\theta}$
• Д) $n'_{\mathrm{кр}} = n - \frac{H}{4L\theta} \approx 1{,}3067$
• Е) $b \approx 2\varphi L = 2(n-n')\theta L$
• Ж) Дестилирана вода ($n' = 1{,}3330$): $\Delta x = 24{,}55\ \mu m$, $b = 21{,}60\ \mathrm{mm}$, $N = 879$. 65% захарен воден разтвор ($n' = 1{,}4532$): $\Delta x = 87{,}61\ \mu m$, $b = 6{,}05\ \mathrm{mm}$, $N = 69$.
• З) $n' = n - \frac{1}{2\theta}\sqrt{\frac{N\lambda}{L}}$
• И) $n'_x = 1{,}4025,\qquad c_x \approx 41\%$
• К) $\Delta n'(N) \approx \frac{1}{2\theta}\sqrt{\frac{\lambda}{L}}\frac{1}{2\sqrt{N}},\qquad \Delta n'(300) \approx 1{,}6\cdot 10^{-4}$
• Л) $d_{max} \le 10\ \mu m$

а) Тъй като процепът (източник на светлина за лещата) се намира във фокуса на събирателната леща, снопът светлина между лещата и кюветата е успореден. [1 т.]

б) Лъч, успореден на оптичната ос на кюветата, пада върху наклонената стена на бипризмата под ъгъл $\theta$. Там той ще се пречупи и по закона Снелиус $\dfrac{\sin\theta}{\sin\alpha} = \dfrac{n}{n'}$ [0,5 т.] ъгълът на пречупване $\alpha$ ще бъде $\alpha \approx \dfrac{n'}{n}\theta$. [0,5 т.] Ъгълът на падане на задната стена на бипризмата ще бъде $\gamma = \theta - \alpha = \theta - \dfrac{n'}{n}\theta = \dfrac{n-n'}{n}\theta$. [0,5 т.] Прилагайки още веднъж закона на Снелиус $\dfrac{\sin\gamma}{\sin\varphi} = \dfrac{1}{n}$, $\varphi \approx n\gamma = (n-n')\theta$. [0,5 т.]

в) Разликата във фазовата разлика на светлината за два съседни интерференчни максимума е $2\pi$ (разликата в разликата на оптичните пътища за два съседни интерференчни максимума е $\lambda$). Така, рисувайки два вълнови фронта на разстояние $\lambda$ за всеки сноп, от правоъгълния триъгълник с хипотенуза $\Delta y$, катет $\lambda$ и ъгъл срещу този катет $\beta$, намираме $\dfrac{\lambda}{\Delta y} = \sin\beta \approx \beta$, откъдето $\Delta y = \dfrac{\lambda}{\beta}$. [1 т.]

г) Детекторът ще регистрира интерференчна картина, получаваща се от интерференцията на два успоредни снопа, сключващи ъгъл $2\varphi$. [1 т.] Използвайки резултатите, получени в предните две подусловия, $\Delta x = \dfrac{\lambda}{2\varphi} = \dfrac{\lambda}{2(n-n')\theta}$. [1 т.]

д) Зоната, където се наблюдава интерференчна картина, е зоната, където се припокриват двата снопа (пречупени от горната и долната половина на бипризмата). Тази зона има форма на ромб с малък ъгъл $2\varphi$ и малък диагонал $H/2$. Широчината $b$ на интерференчната картина ще е максимална, когато CCD съвпада с този малък диагонал, т.е. половината от големия диагонал на ромба е $L$. [0,5 т.] Тогава $\dfrac{b/2}{L} = \dfrac{H}{4L} = \tan\varphi \approx \varphi$ и $\varphi = (n-n'_{\mathrm{кр}})\theta$ и $n'_{\mathrm{кр}} = n - \dfrac{H}{4L\theta} \approx 1{,}3067$. [0,5 т.]

е) Когато показателят на пречупване на неизвестната течност $n'$ е по-голям от $n'_{\mathrm{кр}}$, CCD ще е разположен в по-близката до бипризмата половина на зоната на припокриване на сноповете и тогава $b \approx 2\varphi L = 2(n-n')\theta L$. [1 т.]

ж) За двете конкретни течности изчисляваме $\Delta x$ и $b$ по формулите, получени съответно в подусловия г) и е), а $N = \dfrac{b}{\Delta x}$. Попълваме таблицата [3 т.] (по 0,5 т. за всяка вярна стойност)

з) Използвайки резултатите от г), е) и ж), $n' = n - \dfrac{1}{2\theta}\sqrt{\dfrac{N\lambda}{L}}$. [1 т.]

и) За интерференчна картина с $N_x = 300$ максимума от горната формула се получава $n'_x = 1{,}4025$. [0,5 т.] Използвайки дадената графика, $c_x \approx 41\%$. [0,5 т.]

к) Тъй като $n'(N) = n - \dfrac{1}{2\theta}\sqrt{\dfrac{N\lambda}{L}}$ и $n'(N+1) = n - \dfrac{1}{2\theta}\sqrt{\dfrac{(N+1)\lambda}{L}}$, то $\Delta n'(N) = |n'(N+1) - n'(N)| = \dfrac{1}{2\theta}\sqrt{\dfrac{\lambda}{L}}\left(\sqrt{N+1}-\sqrt{N}\right) \approx \dfrac{1}{2\theta}\sqrt{\dfrac{\lambda}{L}}\dfrac{1}{2\sqrt{N}}$. [0,5 т.] За дадените стойности $\Delta n'(300) \approx 1{,}6\cdot10^{-4}$. [0,5 т.]

л) При крайни размери на процепа, всяка негова част, разглеждана като точков източник ще дава своя интерференчна картина. Тогава от различните части на процепа ще се получават разместени върху детектора интерференчни картини. При равни разстояния f и L, широчината на процепа $d_{max}$ трябва да е по-малка от $\Delta x/2$. От пресметнатите стойности за $\Delta x$ можем да направим извода, че $d_{max} \le 10\ \mu m$. [1 т.]