Съдържание

НОФ 2015, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 4. Определяне на масата на покой на $\Lambda^0$ бариона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2015

Национална олимпиада по физика 2015, национален кръг, тема за 10.–12. клас (първи ден) · 6 април 2015 г. · 15 т.

Условие

Ламбда нула барионът ( $\Lambda^0$ ) е съставен от трите най-леки кварка (uds). Той е нестабилна електронеутрална частица, която се ражда при взаимодействие между други частици с високи енергии и след това се разпада. Подобни процеси могат да се изследват с мехурчеста камера.

Сноп от отрицателно заредени $\mathrm{K}^-$ мезони с много голяма енергия (релативистки сноп) попада в мехурчеста камера, запълнена със смес от органични течности. $\mathrm{K}^-$ мезоните взаимодействат с неутрони, които се съдържат в течностите, и протича реакцията:

(1)\qquad \mathrm{K}^- + \mathrm{n} \to \Lambda^0 + \pi^-.

Много кратко време след раждането си ламбда барионите се разпадат на протони и пи минус мезони ( $\pi^-$ ):

(2)\qquad \Lambda^0 \to \mathrm{p} + \pi^-.

Фотография на описаните по-горе събития е показана на фиг. 1а (на отделен лист). $\Lambda^0$ барион се ражда в точка A в резултат на реакцията (1). Той достига по права линия точка B, където се разпада. Заредените частици ( $\mathrm{K}^-$ , p и $\pi^-$ ) взаимодействат с молекулите на течностите, изпълващи камерата, и се появяват мехурчета, които правят пътя на заредените частици видим – наблюдават се следи (трекове) на частиците. Незаредените частици не оставят следи. Пунктираните линии не са част от оригиналната фотография. Те са дадени за нагледност и да ви помогнат при решаването на задачата. Всички частици се движат в равнината на снимката (листа). Протоните и $\pi^-$ мезоните постепенно губят своята кинетична енергия в резултат на взаимодействието с молекулите на средата и накрая спират. На фиг. 1б е показана зависимостта на дължината на пробега (трека) на двете частици от тяхната начална кинетична енергия. Известни са енергията на покой на протона $\mathrm{E_{0p}}$ = 938,3 MeV и на $\pi^-$ мезона $\mathrm{E_{0\pi}}$ = 139,6 MeV.

Като използвате фиг. 1а и фиг. 1б, определете стойностите на изброените по-долу величини и направете оценка на грешката.

Указание. В подусловие А) се изисква определяне на грешките на всички измерени или пресметнати величини. В другите подусловия приемете, че относителната грешка на пресметнатите величини е 1 %, пресметнете абсолютната грешка на всяка от тези величини и запишете коректно крайните резултати.

Полезна формула за релативистки импулс:

p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2}

където E е пълната релативистка енергия на частицата, $\mathrm{E_0}$ е нейната енергия на покой, а c е скоростта на светлината.

Фотография от мехурчеста камера със следи на частици, отбелязани точки A и B, трекове p и пи-минус и мащабна линийка — Фиг. 1а. Фотография от мехурчеста камера: раждане на $\Lambda^0$ в точка A, разпадане в точка B на протон p и $\pi^-$ мезон; долу е показан мащабът в cm.

Графика: кинетична енергия в MeV срещу дължина на следата в mm за протон и пи-минус мезон — Фиг. 1б. Зависимост на кинетичната енергия (MeV) на протона и на $\pi^-$ мезона от дължината на следата (mm).

А) Измерете дължините на пробега на протона и на $\pi^-$ мезона и определете тяхната начална пълна релативистка енергия $E_\mathrm{p}$ и $E_\pi$ (в единици MeV). [7 т.]

Б) Определете (в единици MeV/c, където с е скоростта на светлината) началните импулси $\mathrm{p_p}$ , $\mathrm{p_\pi}$ на протона и на $\pi^-$ мезона и импулса $\mathrm{p_\Lambda}$ на $\Lambda^0$ бариона непосредствено преди разпадането му. [5 т.]

В) Определете масата на покой на $\Lambda^0$ бариона (в единици MeV/c $^2$ ). [3 т.]

Отговори

Решение

А) Следата (трекът) на пиона от фиг. 1а е дъга. За да измерим нейната дължина, можем да използваме линийка, която се огъва, лист хартия, хартиена лентичка, конец и т.н. Дължините на двата трека са:

$\ell_\mathrm{p} = 20{,}5$ mm ……0,4 точки; $\ell_\pi = 145$ mm ………………….……0,9 точки

Приемаме, че грешката на измерванията се определя от точността на измерването с линийка $\pm$ 0,5 mm. При измерването на дъгата неточността е по-голяма ( $\pm$ 1 mm).

$\ell_\mathrm{p} = 20{,}5 \pm 0{,}5$ mm ……0,1 точки; $\ell_\pi = 145 \pm 1$ mm ……………..…0,1 точка

С линийка измерваме, че на $\ell_0 = 33$ mm от мащабната линийка отговарят $\ell$ = 28 mm. Мащабът е $k = \dfrac{\ell_0}{\ell} = 1{,}18$ …0,5 точки

Относителната грешка при определяне на мащаба е $\dfrac{\Delta k}{k} = \dfrac{\Delta \ell_0}{\ell_0} + \dfrac{\Delta \ell}{\ell} \approx \dfrac{\Delta \ell}{\ell} = 0{,}018$ …0,25 точки

Истинската дължина на трека на протона е $L_\mathrm{p} = k\ell_\mathrm{p} = 24{,}2$ mm …0,4 точки

Относителната грешка е $\dfrac{\Delta L_\mathrm{p}}{L_\mathrm{p}} = \sqrt{\left(\dfrac{\Delta k}{k}\right)^2 + \left(\dfrac{\Delta \ell_\mathrm{p}}{\ell_\mathrm{p}}\right)^2} = 0{,}03$ …0,5 точки

Следователно: $L_\mathrm{p} = 24{,}2 \pm 0{,}7$ mm …0,1 точка

Истинската дължина на трека на пиона е $L_\pi = k\ell_\pi = 171$ mm …0,4 точки; $L_\pi = 171 \pm 3$ mm ……….. 0,1 точка

От графиката на фиг. 1б определяме кинетичните енергии на двете частици, които съответстват на дължините на измерените трекове:

$T_\mathrm{p} = 45$ MeV ……………… 0,9 точки; $T_\pi = 60$ MeV ………….…………. 0,9 точки

Приблизителна оценка на грешката правим, като отчетем точността с която сме измерили дължините на трековете и точността, с която можем да снемем данни от графиката:

$T_\mathrm{p} = 45 \pm 2$ MeV …………..0,1 точка; $T_\pi = 60 \pm 2$ MeV …………..……..0,1 точка

Пълната релативистка енергия на протона в началния момент е $E_\mathrm{p} = E_{0\mathrm{p}} + T_\mathrm{p} = 983{,}3$ MeV …0,4 точки

Грешката е $\Delta E_\mathrm{p} = \Delta E_{0\mathrm{p}} + \Delta T_\mathrm{p} = \Delta T_\mathrm{p} = 2$ MeV …0,25 точки

Крайният резултат е $E_\mathrm{p} = 983 \pm 2$ MeV … 0,1 точка

Пълната релативистка енергия на пиона в началния момент е $E_\pi = E_{0\pi} + T_\pi = 199{,}6$ MeV ……….0,4 точки; $E_\pi = 200 \pm 3$ MeV ……….0,1 точка

Б) Началният импулс на протона е $p_\mathrm{p} = \dfrac{1}{c}\sqrt{E_\mathrm{p}^2 - E_{0\mathrm{p}}^2} = 294$ MeV/c …….0,9 точки; $p_\mathrm{p} = 294 \pm 3$ MeV/c ……. 0,1 точка

Началният импулс на пиона е $p_\pi = \dfrac{1}{c}\sqrt{E_\pi^2 - E_{0\pi}^2} = 143$ MeV/c ………0,9 точки; $p_\pi = 143 \pm 1$ MeV/c …. 0,1 точка

За да определим импулса на $\Lambda^0$ бариона преди разпадането, използваме закона за запазване на импулса: $\vec{p}_\Lambda = \vec{p}_\pi + \vec{p}_\mathrm{p}$ … 1 точка

От векторния триъгълник с помощта на косинусовата теорема получаваме: $p_\Lambda = \sqrt{p_\pi^2 + p_\mathrm{p}^2 + 2p_\pi p_\mathrm{p}\cos\phi}$ …1 точка

Ъгълът $\phi$ между началните импулси на двете частици измерваме от фиг. 1б, като използваме пунктираните линии: $\phi = 46{,}5^\mathrm{o} \pm 0{,}5^\mathrm{o}$ …0,5 точки

$p_\Lambda = 406$ MeV/c …………….0,4 точки; $p_\Lambda = 406 \pm 4$ MeV/c …………….0,1 точка

В) От закона за запазване на енергията следва, че пълната релативистка енергия $E_\Lambda$ на $\Lambda^0$ бариона непосредствено преди разпадането му е равна на сумата от пълните начални релативистки енергии на двете частици продукти на разпадането: $E_\Lambda = E_\pi + E_\mathrm{p}$ ….. 1 точка

Масата на покой на $\Lambda^0$ бариона изразяваме от формулата за релативистки импулс: $m_{0\Lambda} = \dfrac{E_{0\Lambda}}{c^2} = \dfrac{1}{c^2}\sqrt{\left(E_\mathrm{p}+E_\pi\right)^2 - c^2 p_\Lambda^2}$ ….……. 1 точка

$m_{0\Lambda} = 1111$ MeV/c $^2$ …………….0,8 точки; $m_{0\Lambda} = (1110 \pm 10)$ MeV/c $^2$ …….0,2 точки

Оригинал в Архива: NOF3_2015_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2015_10-12solutionsD1.pdf