НОФ 2015, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 1. Изследване на зависимостта на честотата на LC трептящия кръг от величините, определящи индуктивността на използваната част от соленоида

Изследване на LC трептящ кръг · 7 април 2015 г. · 6 т.

Условие

Теоретична част

Трептящ LC кръг представлява електрическа верига с пренебрежимо малко омово съпротивление R, съставена от кондензатор с капацитет C и бобина с индуктивност L (виж фигурата). Такива вериги се използват в генератори на незатихващи трептения, в системи за обработка на сигнали, в комуникациите и други. Едно от най-разпространените им приложения е при радиопредавателите и радиоприемниците. Например, когато настройваме радиоприемник на желаната станция, променяме собствената (резонансната) честота на LC трептящ кръг, свързан с антената на приемника.

Ако в такъв трептящ кръг преди да затворим веригата, кондензаторът C е зареден до заряд $q_0$, след затваряне на веригата, през бобината L започва да протича ток и в нея се индуцира магнитно поле. Така електричната енергия на заредения кондензатор преминава в магнитна енергия на намотката, след което процесът се обръща и магнитната енергия на намотката преминава в електрична енергия на заредения кондензатор. Тъй като съпротивлението R на контура е нула, това периодично преобразуване на електрична в магнитна енергия и обратно може да продължи неограничено дълго време и в контура ще се наблюдават незатихващи електромагнитни трептения.

Може да се покаже, че собствената кръгова честота на незатихващите трептения в LC кръга се определя от израза:

В един реален трептящ кръг обаче, винаги има и различно от нула омово съпротивление R, което се дължи на съпротивлението на свързващите проводници и това на намотката. При протичане на ток през R, част от електромагнитната енергия на системата се превръща в топлина и трептенията във веригата стават затихващи. В зависимост от стойността на R, времето за затихване е различно, но дори и при малко съпротивление това време не е достатъчно, ако искаме да изследваме трептящия кръг с помощта на мултицет. За да се избегне затихването може да се използва по-сложна електронна схема (генератор на хармонични трептения), която внася допълнителна енергия, равна на загубите в съпротивлението R. Част от тази схема отново представлява LC кръг, но вместо една в него се използват две последователно свързани бобини с индуктивности съответно $L_0$ и $L_1$ (на фигурата е дадена само частта от схемата, която представлява трептящия кръг). Общата индуктивност на двете последователни бобини се определя от израза:

така кръговата честота на трептящ кръг отново ще се определя от формула (1).

В настоящата задача бобината $L_0$ ще наричаме вътрешна, а $L_1$ външна. Вътрешната бобина има фиксирана стойност на индуктивността и тя не може да бъде променяна, за разлика от външната, която представлява соленоид, т.е. намотка чиято дължина е много по-голяма от диаметъра ѝ. Соленоидът е изработен от меден проводник и в зависимост от това каква част от него се използва, индуктивността му може да се променя.

Измерването на честотата на трептящия кръг може да стане с помощта на мултицет и допълнителна „измерителна бобина“. Изводите на мултицета се свързват с измерителната бобина и тя се поставя на подходящо (и достъпно) място, където плътността на магнитната индукция създавана от соленоида е най-висока. По този начин, ако през соленоида тече ток с определена честота в измерителната бобина ще се индуцира електродвижещо напрежение със същата честота, а тя може да бъде измерена с мултицета.

Уреди и материали

• кондензатор … 1 бр.
• меден соленоид на поставка … 1 бр.
• измерителна бобина … 1 бр.
• електронна схема … 1 бр.
• мултицет … 1 бр.
• свързващи проводници … 2 бр.
• микрощипка … 1 бр.
• батерия 9V … 1 бр.
• милиметрова хартия … 2 л.
• ролетка … 1 бр.

Указания

• не се опитвайте да отваряте кутията, в която се намира ел. схемата
• не дърпайте проводниците, излизащи от кутията
• не деформирайте соленоида и не го изваждайте от поставката му
• при поставяне на измерителната бобина соленоидът не трябва да се деформира
• не включвайте осветлението на екрана на мултицета
• не натискайте бутоните REL и HOLD на мултицета, ако не знаете тяхното предназначение
• след приключване на измерванията много внимателно изключете захранването на електронната схема.
• внимавайте да не загубите кондензатора

Необходими величини и формули:

• индуктивност на соленоид с дължина l, напречно сечение S и брой навивки N

• относителната магнитна проницаемост на въздуха $\mu_r = 1$.
• магнитна проницаемост на вакуума $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$.

Задачи:

1. Изследване на зависимостта на честотата на LC трептящия кръг от величините, определящи индуктивността на използваната част от соленоида

1.1. Получете израз за зависимостта на честотата на LC веригата от величините, определящи индуктивността на използваната част от соленоида. [1 т.]

1.2. Получете експериментално зависимостта на честотата на трептящия кръг от величините, определящи индуктивността на използваната част от соленоида. Представете данните таблично и оценете грешката на пряко измерените величини. [2 т.]

1.3. Направете схема (чертеж) описваща експеримента и означете мястото, където се поставя измерителната бобина. Аргументирайте се за избраната от вас позиция на бобината. [2 т.]

1.4. Измерете с мултицета капацитета на кондензатора от LC веригата, и направете оценка за точността на измерването. [1 т.]

Решение

Оригинал в Архива: NOF3_2015_10-12problemsExp.pdf