Съдържание

Условие Отговори Решение

НОФ 2015, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Равновесие

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2015

Национална олимпиада по физика 2015, национален кръг, тема за 8. клас · 6 април 2015 г. · 10 т.

Условие

Две деца държат краищата на хоризонтална пръчка, на която е закачена раница на 25 cm от лявото дете. — Петър и Гергана носят раницата на пръчка с дължина 1 m; раницата е на 25 cm от ръката на Петър.

Наклонена под ъгъл алфа права, върху която лежи правилен шестоъгълник с отбелязан център. — Молив с шестоъгълно напречно сечение върху наклонена под ъгъл $\alpha$ повърхност.

Задачата се състои от три независими подусловия

А) Ученици от 8-а клас на ПМГ „Иван Ценов“ тръгнали на екскурзия до хижа „Пършевица“. Раницата на Гергана била толкова тежка, че тя не можела да я носи сама и помолила Петър за помощ. Двамата хванали в краищата здрава пръчка с дължина $l = 1\ \mathrm{m}$ и закачили на нея раницата на разстояние $x = 25\ \mathrm{cm}$ от ръката на Петър. Определете силите $F_1$ и $F_2$ , с които Гергана и Петър държат краищата на пръчката, докато носят раницата. Масата на раницата е $m = 10\ \mathrm{kg}$ , а земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . [3,5 т.]

Б) Молив с напречно сечение – правилен шестоъгълник, е поставен на плоска повърхност. Под какъв най-голям ъгъл $\alpha$ може да бъде наклонена повърхността спрямо хоризонта, без моливът да започне да се търкаля по нея? [3 т.]

В) Три еднакви тухли с дължина $l = 20\ \mathrm{cm}$ всяка са наредени една над друга на хоризонтална повърхност, както е показано на фигурата. Колко е максималната възможна дължина $L$ на „покрива“, който би се образувал, ако отместим горните две тухли в хоризонтално направление? Тухлите не са залепени една за друга. [3,5 т.]

Наляво купчина от три подредени тухли; надясно същите тухли, отместени стъпаловидно, с означена дължина L на надвеса. — Вляво: трите тухли с дължина $l$ , наредени една над друга. Вдясно: отместените тухли и образуваният „покрив“ с дължина $L$ .

Отговори

Решение

А) Силите $F_1$ и $F_2$ действат в една посока и уравновесяват теглото на раницата:

(1)\qquad F_1 + F_2 = mg

[1 точка]

Ако разглеждаме ръката на Петър като опорна точка на едностранен лост, рамото на силата $mg$ е $x$ , а на $F_1$ е $l$ . От условето за равновесие на лоста имаме:

(2)\qquad F_1 l = mgx

[1 точка]

откъдето:

(3)\qquad F_1 = \frac{mgx}{l} = 25\ \mathrm{N},

[1 точка]

За силата $F_2$ имаме:

(4)\qquad F_2 = mg - F_1 = 75\ \mathrm{N}.

[0,5 гочки]

Алтернативно решение. Можем да разглеждаме ръката на Гергана като опорна точка на лост. В този случай условието за равновесие е:

F_2 l = mg(l - x)

откъдето:

F_2 = \frac{mg(l-x)}{l} = 75\ \mathrm{N}.

Б) Понеже моливът е симетрично тяло, центърът му на тежестта се намира в центъра $C$ на шестоъгълника. [1 точка]

Според правилото на Торичели най-големият ъгъл, на който може да се наклони равнината, съответства на случая, когато центърът на тежестта се намира на една вертикална права с долния ръб на опорната площ (може и само чертеж). [1 точка]

Три стъпаловидно отместени тухли, номерирани 1, 2 и 3, с означени x1, x2, l и L и общ център на тежестта C. — Чертеж към подусловие В): отместванията $x_1$ и $x_2$ и общата дължина $L$ на покрива.

От чертежа се вижда, че $\alpha = 30^\circ$ . [1 тачка]

Шестоъгълник върху наклонена равнина; от центъра C две дъги по 30 градуса и наклон алфа = 30 градуса. — Чертеж към подусловие Б): центърът $C$ е вертикално над долния ръб на опорната площ при $\alpha = 30^\circ$ .

В) Тухлата 1 може да се премести спрямо тухлата 2 най-много на разстояние:

(1)\qquad x_1 = \frac{l}{2} = 10\ \mathrm{cm}.

[1 точка]

Ако разглеждаме тухлите 1 и 2 като едно общо тяло, неговият център на тежестта е в центъра C на симетрия, т.е. на разстояние:

(2)\qquad x_2 = \frac{l}{4} = 5\ \mathrm{cm}.

[1,5 точки]

от ръба на тухлата 2. Следователно, за да не се преобърнат горните две тухли, те могат да бъдат отместени като цяло, докато точката C застане вертикално над ръба на тухлата 3, т.е. най-много на расктояние $x_2$ . Следователно максималната дължина на образувания покрив е:

(3)\qquad L = x_1 + x_2 = 15\ \mathrm{cm}.

[1 точка]

Оригинал в Архива: NOF3_2015_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2015_8solutions.pdf