НОФ 2016, II кръг (областен), 8. клас — Задача 2. Вертикално хвърляне на две тела

• А. $t_1 = \frac{v_0}{g},\quad h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g},\quad t_2 = \frac{v_0}{g} = t_1,\quad v = v_0$

• а) $t = \frac{1}{v_0}\left(h+\frac{v_0^2}{2g}\right) = 0{,}9\ \mathrm{s},\quad H_1 \approx 4{,}95\ \mathrm{m}$

  Двете търсени величини: $t = 0{,}9\ \mathrm{s}$ и $H_1 \approx 4{,}95\ \mathrm{m}$ (числената стойност в полето value е $H_1$).

• б) $t = \frac{1}{v_0}\left(h+\frac{v_0^2}{2g}\right) \approx 1{,}2\ \mathrm{s},\quad H_2 \approx 4{,}8\ \mathrm{m}$

  Двете търсени величини: $t \approx 1{,}2\ \mathrm{s}$ и $H_2 \approx 4{,}8\ \mathrm{m}$ (числената стойност в полето value е $H_2$). Допълнително се изисква $\frac{1}{3}h \le \frac{v_0^2}{2g} < h$.

А. Движението на тялото нагоре е равнозакъснително с ускорение $g$, при което имаме

$v = v_0 - gt$, $\qquad h = v_0t - \dfrac{gt^2}{2}$. [1 т.]

Тогава от анулирането на скоростта след време $t_1$ получаваме

$t_1 = \dfrac{v_0}{g}$, $\qquad h_{\max} = v_0t_1 - \dfrac{gt_1^2}{2} = \dfrac{v_0^2}{2g}$. [1 т.]

Движението надолу е равноускорително без начална скорост. Тогава имаме

$t_2 = \sqrt{\dfrac{2h_{\max}}{g}} = \dfrac{v_0}{g} = t_1$, $\qquad v = gt_1 = v_0$. [1 т.]

В. а) Първото тяло пада свободно без начална скорост, а второто се издига, като се движи равнозакъснително. Те се оказват на една и съща височина, движейки се едно срещу друго. Тогава сумата от изминатите от тях разстояния е равна на максималната достигната височина от първото тяло, т.е.

$\dfrac{gt^2}{2} + v_0t - \dfrac{gt^2}{2} = h + \dfrac{v_0^2}{2g}$, [1 т.]

откъдето следва изразът

$t = \dfrac{1}{v_0}\left(h + \dfrac{v_0^2}{2g}\right) = 0{,}9\ \mathrm{s}$. [1 т.]

Двете тела ще се срещнат на височина

$H_1 = v_0t - \dfrac{gt^2}{2} = \dfrac{3}{4}\left(h + \dfrac{v_0^2}{2g}\right)\left(1 - \dfrac{1}{3}\dfrac{h}{v_0^2/2g}\right) \approx 4{,}95\ \mathrm{m} \ge h$. [1 т.]

б) В този случай след време $t_1 = v_0/g$, второто тяло се издига на максимална височина $v_0^2/2g$, а първото ще бъде на височина $h$ и ще има скорост $v_0$, насочена надолу. От този момент нататък първото се движи равноускорително с начална скорост $v_0$, а второто се движи равноускорително без начална скорост. Тогава имаме $t = (v_0/g) + \Delta t$ [0,5 т.] и

$v_0\Delta t + \dfrac{g(\Delta t)^2}{2} = h - \dfrac{v_0^2}{2g} + \dfrac{g(\Delta t)^2}{2}$, [1 т.]

откъдето следва същият израз, както в пункт а):

$t = \dfrac{1}{v_0}\left(h + \dfrac{v_0^2}{2g}\right) \approx 1{,}2\ \mathrm{s}$. [0,5 т.]

Тогава за височината, на която едновременно ще се намират двете тела, отново получаваме

$H_2 = h + \dfrac{v_0^2}{2g} - \dfrac{gt^2}{2} = \dfrac{3}{4}\left(h + \dfrac{v_0^2}{2g}\right)\left(1 - \dfrac{1}{3}\dfrac{h}{v_0^2/2g}\right) \approx 4{,}8\ \mathrm{m}$. [1 т.]

Освен това, тъй като трябва $H_2 \ge 0$, ще са изпълнени допълнително неравенствата

$\dfrac{1}{3}h \le \dfrac{v_0^2}{2g} < h$. [1 т.]