НОФ 2016, II кръг (областен), 9. клас — Задача 3. Електрическа верига

• а) $R = 5r = 1\ \Omega, \qquad \mathcal{E} = \frac{19}{2}\sqrt{\frac{rP}{15}} \approx 7{,}8\ \mathrm{V}$

  Схемата е показана на Фиг. 3 от указанията: резисторите $R$ и $3R$ са свързани успоредно към батерията ($\mathcal{E}$, $r$).

• б) $P' = \frac{330\mathcal{E}^2}{1681r} \approx 59\ \mathrm{W}$

а) Електрическата схема е представена на Фиг. 3. [1 т.] В случая с един резистор токът през батерията е $\mathrm{I_1} = \dfrac{\mathcal{E}}{\mathrm{R} + \mathrm{r}}$. [0,5 т.] Мощността на резистора е $\mathrm{P_R} = \mathrm{I_1^2R} = \dfrac{\mathcal{E}^2\mathrm{R}}{\left(\mathrm{R} + \mathrm{r}\right)^2}$ [0,5 т.], а мощността, която се отделя в батерията, е $\mathrm{P_r} = \mathrm{I_1^2r} = \dfrac{\mathcal{E}^2\mathrm{r}}{\left(\mathrm{R} + \mathrm{r}\right)^2}$ [0,5 т.], т.е. имаме, че $\mathrm{R} = 5\mathrm{r} = 1\ \Omega$. [1 т.] Когато имаме два включени резистора, токът през батерията става $\mathrm{I_2} = \dfrac{4\mathcal{E}}{3\mathrm{R} + 4\mathrm{r}} = \dfrac{4\mathcal{E}}{19\mathrm{r}}$. [1 т.] Общата мощност на резисторите е $\mathrm{P} = \dfrac{3\mathrm{I_2^2R}}{4} = \dfrac{15\mathrm{I_2^2r}}{4}$. [1 т.] За електродвижещото напрежение получаваме $\mathcal{E} = \dfrac{19}{2}\sqrt{\dfrac{\mathrm{rP}}{15}} \approx 7{,}8\ \mathrm{V}$. [1 т.]

б) Общата мощност на трите резистора е $\mathrm{P}' = \mathrm{I_3^2}\mathrm{R_{\text{екв}}}$ [0,5 т.], където еквивалентното съпротивление на трите резистора е $\mathrm{R_{\text{екв}}} = \dfrac{6\mathrm{R}}{11}$ [1 т.], а токът, който протича през батерията, е $\mathrm{I_3} = \dfrac{\mathcal{E}}{\mathrm{R_{\text{екв}}} + \mathrm{r}} = \dfrac{11\mathcal{E}}{6\mathrm{R} + 11\mathrm{r}} = \dfrac{11\mathcal{E}}{41\mathrm{r}}$. [1 т.] Така се получава, че $\mathrm{P}' = \dfrac{330\mathcal{E}^2}{1681\mathrm{r}} \approx 59\ \mathrm{W}$. [1 т.]