Съдържание

НОФ 2016, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2. Топлина и работа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2016

Национална олимпиада по физика 2016, национален кръг, тема за възрастова група 10.–12. клас · 5 април 2016 г. · 15 т.

Условие

Част А. Две течности с една и съща маса са затворени в два херметични съда. Те се нагряват равномерно по един и същ начин. На фиг. 2А са показани графиките на зависимостта на температурата $t$ на всяка една течност от времето $\tau$ за нагряване.

а) Избройте процесите, които са представени с тези две еднотипни графики. [1,5 т.]

б) Сравнете по графиките еднотипните топлинни характеристики на двете течности. [6,5 т.]

Две еднотипни графики t(τ): всяка се състои от наклонен участък, хоризонтално плато (при t1 за течност 1 и t2 за течност 2) и втори наклонен участък; платото на течност 2 започва при τ1, това на течност 1 — при τ2, и двете свършват при τ3. — Фиг. 2А

Част Б. На фиг. 2Б е показана $p,V$ - диаграма на цикличен процес $1-2-3-4-1$ , извършван с определено количество идеален газ. Изброените състояния лежат на три различни изотерми. Определете КПД $\eta$ на топлинния двигател, работещ по изобразения цикъл, ако $T_{\mathrm{max}}/T_{\mathrm{min}} = 3$ . Използвайте факта, че работата, извършена от газа при изотермно разширение, е $A = BT\ln(V_f/V_i)$ , където $B$ е газовата константа, $V_f$ и $V_i$ са съответно крайният и началният обем на газа. Вътрешната енергия на идеалния газ се дава с израза $U = (3/2)BT$ . [7 т.]

p,V-диаграма с три изотерми; цикълът 1-2-3-4-1 е защрихован: изохора 1-2, изобара 2-3, изотерма 3-4 и изобара 4-1. — Фиг. 2Б

Отговори

Решение

Част А. а) Всяка от графиките се състои от три участъка. Първият участък представя процес на нагряване на течността до температурата на кипене. [0,5 т.] Вторият, хоризонтален участък, е свързан с кипенето на течността, като нагряването води до изпарението й. [0,5 т.] На третия участък цялото количество течност се е изпарило и се наблюдава нагряване на парите. [0,5 т.]

б) Хоризонталният участък на графиките се реализира при температурата на кипене на течността — $t_1$ за течността 1 и $t_2$ за течността 2. Както се вижда от фиг. 1 имаме, $t_1 < t_2$ . [0,5 т.] При нагряване до температурата на кипене, течностите получават количество топлина

Q_1 = P\tau_2, \qquad Q_2 = P\tau_1 \qquad \textbf{[0,5 т.]}

съответно. Следователно имаме

\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\tau_2}{\tau_1} > 1. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

От друга страна са в сила равенствата

Q_1 = mc_1 t_1, \qquad Q_2 = mc_2 t_2, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето следва връзката между топлинните капацитети

\frac{c_1}{c_2} > \frac{t_2}{t_1} > 1 \;\Rightarrow\; c_1 > c_2, \qquad \textbf{[1 т.]}

т.е. специфичният топлинен капацитет $c_1$ на първата течност е по-голям от специфичния топлинен капацитет $c_2$ на втората течност.

При температурата на кипене за изпаряване на първата течност е нужно количество топлина

Q_1' = mr_1 = P(\tau_3 - \tau_2), \qquad \textbf{[0,25 т.]}

а за втората —

Q_2' = mr_2 = P(\tau_3 - \tau_1). \qquad \textbf{[0,25 т.]}

Тъй като имаме

\frac{Q_1'}{Q_2'} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{\tau_3 - \tau_2}{\tau_3 - \tau_1} < 1 \;\Rightarrow\; r_1 < r_2, \qquad \textbf{[1 т.]}

т.е. специфичната топлина на изпарение $r_1$ на първата течност е по-малка от специфичната топлина на изпарение $r_2$ на втората течност.

В третия участък към даден момент $\tau'$ имаме

Q_1'' = mC_1\Delta t_1 = P(\tau' - \tau_3), \qquad Q_2'' = mC_2\Delta t_2 = P(\tau' - \tau_3), \qquad \textbf{[0,5 т.]}

като $\Delta t_1 > \Delta t_2$ . [0,5 т.] Тогава получаваме

\frac{Q_1''}{Q_2''} = \frac{C_1\Delta t_1}{C_2\Delta t_2} = \frac{\tau' - \tau_3}{\tau' - \tau_3} = 1, \quad \frac{C_1}{C_2} = \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} < 1 \;\Rightarrow\; C_1 < C_2, \qquad \textbf{[1 т.]}

т.е. специфичният топлинен капацитет $C_1$ на парите на първата течност е по-малък от специфичния топлинен капацитет $C_2$ на парите на втората течност.

Част Б. По определение КПД на топлинен двигател се дава с израза

\eta = \frac{W}{Q}, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където $W$ е работата, извършена от газа, а $Q$ — получената от него топлина. Според геометричното тълкуване на извършената работа тя се дава с площта на фигурата, оградена от цикличния процес (фиг. 1), т.е.

p,V-диаграма с посоки на обхождане на цикъла и означени налягания, обеми и трите изотерми. — Фиг. 1 (към решението) — цикълът $1-2-3-4-1$ с означени $p_1$ , $p_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $V_3$ и изотермите $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ .

W = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1) + BT_3\ln\frac{V_3}{V_2} - p_1(V_3 - V_2). \qquad \textbf{[1,5 т.]}

За състоянията, които лежат на една изохора имаме

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}, \quad \frac{p_1}{T_2} = \frac{p_2}{T_3} \;\Rightarrow\; T_2 = \sqrt{T_1T_3}. \qquad \textbf{[1 т.]}

От друга страна за състоянията, които лежат на изобарата с налягане $p_1$ , можем да запишем

\frac{V_3}{V_2} = \frac{T_3}{T_2} = \sqrt{\frac{T_3}{T_1}}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Следователно, като отчетем уравнението на състояние на идеалния газ $pV = BT$ , [0,25 т.] имаме

W = \frac{BT_3}{\alpha}\left(\frac{1}{2}\alpha\ln\alpha - (\sqrt{\alpha}-1)\right), \qquad \textbf{[1 т.]}

където $\alpha = T_3/T_1 = T_{\max}/T_{\min}$ . [0,25 т.] Газът получава топлина в последователността от процеси $1-2-3-4$ . От първия принцип на термодинамиката имаме

Q = U_4 - U_1 + p_2(V_2 - V_1) + BT_3\ln\frac{V_3}{V_2} = \frac{BT_3}{\alpha}\left(\frac{5}{2}\alpha - \sqrt{\alpha} + \frac{1}{2}\alpha\ln\alpha - \frac{3}{2}\right). \qquad \textbf{[1 т.]}

Следователно за КПД на цикъла получаваме

\eta = \frac{(1/2)\alpha\ln\alpha - \sqrt{\alpha} + 1}{(1/2)\alpha\ln\alpha - \sqrt{\alpha} + 1 + (5/2)(\alpha-1)} = \frac{1}{1 + \dfrac{5(\alpha-1)}{\alpha\ln\alpha - 2(\sqrt{\alpha}-1)}} \approx 0{,}15. \qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: NOF3_2016_10-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2016_10-12solutions.pdf