Съдържание

НОФ 2016, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 3. Електромагнитен коктейл

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2016

Национална олимпиада по физика 2016, национален кръг, тема за възрастова група 10.–12. клас · 5 април 2016 г. · 15 т.

Условие

Трите подусловия на задачата са независими. Всяко подусловие носи по 5 точки – общо 15 точки за задачата.

А) Осем еднакви точкови заряда $q$ са закрепени във върховете на куб със страна $a$ . Ако един от зарядите бъде преместен в центъра на куба, както е показано на фиг. 3А, намерете:

силата, която ще действа на заряда в центъра;
работата, която трябва да бъде извършена за преместването на заряда в центъра. [5 т.]

Б) Дълъг прав проводник е огънат така, че огънатата част има форма на полуокръжност с радиус $R$ , както е показано на фиг. 3Б. По проводника тече ток $I$ в указаната на чертежа посока.

Получете израз за магнитната индукция $B$ в центъра на огънатата част.
Означете на чертеж посоката на магнитната индукция. [5 т.]

В) На фиг. 3В е показана принципната схема на хидродинамичен генератор с морска вода. По канал с правоъгълно напречно сечение тече солена морска вода със скорост $v = 1\ \mathrm{m/s}$ . Специфичното съпротивление на морската вода е $\rho = 0{,}2\ \Omega\cdot\mathrm{m}$ . Страничните стени на канала са две успоредни метални плочи с площ $S = 5\ \mathrm{m^2}$ всяка. В целия обем на канала е създадено еднородно магнитно поле с индукция $B = 0{,}1\ \mathrm{T}$ , насочено вертикално нагоре.

Пресметнете тока $I$ , който ще тече в електрическата верига, ако плочите бъдат свързани накъсо с метален проводник с пренебрежимо съпротивление. [5 т.]

Куб със страна a с точкови заряди във всички върхове; стрелка показва преместването на заряда q от един връх в центъра на куба. — Фиг. 3А

Дълъг прав проводник, огънат на полуокръжност с радиус R и център O; токът I тече по горния прав участък надясно. — Фиг. 3Б

Канал с правоъгълно сечение, две успоредни странични плочи с площ S, свързани към амперметър A; водата тече със скорост v, магнитната индукция B е насочена вертикално нагоре. — Фиг. 3В

Отговори

Решение

Куб с номерирани върхове; в центъра — заряд със стрелки на силите от седемте останали заряда. — Към А) — номерирането на зарядите 1, 2, 3, 4 и 1′, 2′, 3′ и силите, действащи на заряда в центъра.

А) Силите от страна на двойките диаметрално-противоположни заряди 1–1′, 2–2′, 3–3′ взаимно се уравновесяват. [1 т] Следователно на заряда в центъра действа единствено некомпенсираната сила от страна на заряда 4:

F = \frac{kq^2}{r^2} = \frac{4kq^2}{3a^2} \qquad \textbf{[1 т]}

Потенциалът, който създават седемте заряда в центъра е:

\phi_c = \frac{7kq}{r} = \frac{14kq}{a\sqrt{3}} \qquad \textbf{[1 т]}

Зарядите 1′, 2′, 3′ се намират на разстояния $a$ , зарядите 1, 2, 3 – на разстояния $a\sqrt{2}$ , а зарядът 4 – на разстояние $a\sqrt{3}$ от върха на куба. Следователно потенциалът, който седемте заряда създават във върха, е:

\phi_v = \frac{3kq}{a} + \frac{3kq}{\sqrt{2}a} + \frac{kq}{\sqrt{3}a} \qquad \textbf{[1 т]}

Работата, нужна за преместване на заряда от върха в центъра, е:

A = q(\phi_c - \phi_v) = \frac{kq^2\left(26\sqrt{3} - 9\sqrt{2} - 18\right)}{6a} \qquad \textbf{[1 т]}

Б) Всеки от праволинейните участъци 1 и 3 създава магнитна индукция, която е половината от магнитната индукция на безкраен прав проводник:

B_1 = B_3 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \qquad \textbf{[1 т]}

Разглеждаме малък елемент с дължина $\Delta l$ от кръговия участък 2. По закона на Био-Савар, той създава магнитна индукция:

\Delta B = \frac{\mu_0 I \Delta l}{4\pi R^2} \qquad \textbf{[1 т]}

Огънат проводник с номерирани участъци 1, 2, 3, радиус R, елемент Δl и знак ⊗ за посоката на B в центъра. — Към Б) — участъци 1, 2 и 3 на проводника, елементът $\Delta l$ и посоката на $B$ (от нас към чертежа, ⊗).

Общото поле на участъка 2 е сума от полетата, създадени от всички малки елементи:

B_2 = \sum \frac{\mu_0 I \Delta l}{4\pi R^2} = \frac{\mu_0 I}{4R} \qquad \textbf{[1 т]}

където сме използвали, че $\sum \Delta l = \pi R$ е дължината на полуокръжността.

От правилото на дясната ръка установяваме, че и трите участъка създават магнитна индукция в посока от нас към чертежа. Следователна общата магнитна индукция в т. $O$ също е насочена от нас към чертежа. [1 т]

Съгласно с принципа за суперпозиция, големината на магнитната индукция е:

B = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 I(2+\pi)}{4\pi R} \qquad \textbf{[1 т]}

Каналът с плочите и амперметъра; върху заряда q са начертани векторите B нагоре, v по потока и F надясно. — Към В) — токов носител с положителен заряд $q$ , скорост $v$ , индукция $B$ и магнитна сила $F$ ; $l$ е разстоянието между плочите.

В) Разглеждаме токов носител с положителен заряд $q$ , който се движи със скорост $v$ заедно с потока вода. На заряда действа магнитна сила:

F = qvB \qquad \textbf{[1 т]}

насочена надясно. При пренасянето на заряда от лявата до дясната пластина силата извършва работа:

A = Fl = qvBl \qquad \textbf{[1 т]}

където $l$ е разстоянието между плочите. Следователно между плочите се индуцира ЕДН:

U = \frac{A}{q} = vBl \qquad \textbf{[1 т]}

Съпротивлението на водата между плочите е:

R = \frac{\rho l}{S} \qquad \textbf{[1 т]}

Следователно, когато свържем плочите с проводник с нулево съпротивление, във веригата протича ток:

I = \frac{U}{R} = \frac{vBS}{\rho} = 2{,}5\ \mathrm{A} \qquad \textbf{[1 т]}

Оригинал в Архива: NOF3_2016_10-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2016_10-12solutions.pdf