НОФ 2016, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 4. Вълшебни огледала

• а) $x = f, \quad \text{т.е.}\ \frac{x}{f} = 1$

  Второто решение на квадратното уравнение $x^2 - 4fx + 3f^2 = 0$ е $x_2 = 3f$; по условие се взема по-малкото.

• б) Образът е действителен и обърнат (завъртян на 180° около вертикалата); спрямо вертикалата източникът е „прав“.

• в) Пак дясна ръчичка — образът е само транслиран и завъртян спрямо предмета, а въртенето не променя „дясното“ в „ляво“.

• г) $\frac{D}{x} = \frac{D}{f} = \sqrt{7}$ ≈ $2.64575131106$

• д) Образът се намира малко под повърхността на горното огледало и е огледален на горния образ, т.е. ръчичката ще бъде лява.

• е) $y = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\,f$

  Взема се само положителният корен на $\dfrac{1}{y+f} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{f}$.

а) Нека с $a_1$ и $b_1$ бележим разстоянието до предмета и неговия образ, който се получава от горното огледало, а с $a_2$ и $b_2$ бележим разстоянието до източника и образа, който се получава от долното огледало. Образът от отражението в горното огледало е източник за долното. Използвайки формулата за сферично огледало (и конвенцията, че всички разстояния се мерят от върха на огледалото и са положителни, когато са пред огледалото), получаваме следните уравнения: $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{b_1} = \dfrac{1}{f}$ (1) [0.2 т.], $\dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{b_2} = \dfrac{1}{f}$ (2), [0.2 т.] $a_1 = x - d$ (3), [0.2 т.] $a_2 = -b_1 + x$ (4), [0.2 т.] $b_2 = x + d$ (5). [0.2 т.] Заместваме $a_1$ от (3) в (1), $a_2$ от (4) в (2) и $b_2$ от (5) в (2). Съответно (1) и (2) могат да се преобразуват до $b_1 = \dfrac{f(x-d)}{x-d-f}$ (6) и $-b_1 + x = \dfrac{f(x+d)}{x+d-f}$ (7). Събирайки (6) и (7), получаваме уравнението $x = \dfrac{2f(x^2-d^2) - 2f^2x}{(x-f)^2 - d^2}$. То може да се преобразува до следното уравнение от трета степен:

При даденото приближение $d \ll x$, можем да го сведем до квадратно уравнение $x^2 - 4fx + 3f^2 = 0$. То има решения $x_1 = f$ и $x_2 = 3f$. [1.5 т.] Ще използваме по-малкото решение $x = f$, т.е. $\dfrac{x}{f} = 1$. [0.5 т.]

б) Образът е действителен [0.5 т.] и обърнат. В случая „обърнат“ означава обърнат хоризонтално, т.е. завъртян на $180^{\circ}$. В това можем да се убедим като начертаем пътя на лъчите, идващи от източник, намиращ се леко встрани от главната оптична ос. Иначе спрямо вертикалата източникът е „прав“. [0.5 т.]

в) Образът ще е пак дясна ръчичка. Образът ще бъде само транслиран и завъртян спрямо предмета. Въртенето не променя „дясното“ в „ляво“. [1 т.]

г) Отношението $D/x$ може да се намери от свойството на сферичната повърхност. Ако разгледаме триъгълник с върхове центъра на кривината на едно от огледалата, средната точка между центровете на двете огледала и точка от ръба на огледалото, този триъгълник е правоъгълен и има страни $2f$, $\dfrac{3f}{2}$ и $\dfrac{D}{2}$. [1 т.] От Питагоровата теорема намираме $4f^2 = \dfrac{9}{4}f^2 + \dfrac{1}{4}D^2$, откъдето $\dfrac{D}{x} = \dfrac{D}{f} = \sqrt{7}$. [2 т.]

д) Образът на дясната ръчичка, получен от 3 отражения в огледалата (2 от долното и 1 от горното), всъщност също се вижда на снимката (в случая жаба). При първото отражение от долното огледало се получава огледален образ със същата големина (сферичното огледало работи като плоско). Нататък задачата е същата, но за „новия“ източник, намиращ се малко под долното огледало. Следователно, образът ще се намира малко под повърхността на горното огледало [1 т.] и ще е огледален на горния образ, т.е. ръчичката ще бъде лява. [1 т.]

е) След като след 2 отражения от отвора ще излиза успореден сноп светлина, това означава, че междинният образ се намира във фокуса на долното огледало. [0.5 т.] Този образ пък ще е на разстояние $y$ от центъра на горното огледало. [0.2 т.] Лампичката ще е на разстояние $y + f$ от центъра на горното огледало. [0.3 т.] От уравнението за отражение в горното огледало $\dfrac{1}{y+f} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{f}$ [1 т.] От него се намира $y = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}f$. Взимаме само положителния корен $y = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}f$. [1 т.]

Литература: http://www.optigone.com/