Съдържание

НОФ 2016, III кръг (национален), 7. клас — Задача 2. Да светнеш като крушка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2016

Национална олимпиада по физика 2016, национален кръг, тема за 7. клас · 5 март 2016 г. · 10 т.

Решения и указания

Във всяка задача за сгрешен числен отговор еднократно се отнемат по 0,2 т.

Условие

Финиъс искал да направи светеща картичка за рождения ден на Изабела. Той имал електрическа крушка, върху която имало единствено надпис 10 W, и две батерии – една от 4 V и една от 9 V. Финиъс свързал крушката с първата батерия, но лампичката светела прекалено слабо. Тъкмо щял да я свърже към втората батерия, когато брат му Фърб му казал, че така крушката ще изгори и му предложил да използва по-мощната батерия, но само като свърже подходящо избран резистор към веригата.

а) Начертайте схема на веригата, която трябва да използва Финиъс. Последователно или успоредно на крушката трябва да свърже резистора? Обосновете се. [2 т.]

б) Съпротивлението на крушката не е известно, но Финиъс съобразил в какъв интервал от стойности може да се намира то. Намерете този интервал. [3 т.]

в) Финиъс намерил резистор със съпротивление $R_0 = 1{,}4\ \Omega$ , който свързал към веригата, така че лампичката да свети с максималната си мощност без да изгори. Намерете съпротивлението $R_{\mathrm{лампа}}$ на крушката, ако мощността, отделена в резистора е $P_0 = 2{,}8\ \mathrm{W}$ . [2 т.]

г) Точно преди да сглоби картичката Финиъс изгубил резистора, но намерил втора крушка еднаква с тази, която вече имал. По какъв начин (последователно или успоредно) и към коя батерия трябва да свърже крушките, така че картичката да свети възможно по-силно? [3 т.]

Забележка: Приемете, че ако в крушката се отдели мощност повече от 10 W, то тя ще изгори.

Решение

а) (2 т.)

Крушката и резисторът трябва да са свързани последователно. Така напрежението върху крушката ще бъде по-малко от това на батерията и тя ще може да свети без да изгори. [1 т] Следната или еквивалентна схема: [1 т]

Последователно свързани крушка, резистор и батерия.

б) (3 т.)

При напрежение от 4 V крушката свети слабо, т.е. тя не работи с пълната си мощност от 10 W. Съпротивлението $R_{\min}$ , което отговаря на мощност 10 W при напрежение $U_2 = 4\ \mathrm{V}$ , се задава от:

R_{\min} = \frac{U_2^2}{P} = \frac{16}{10} = 1{,}6\ \Omega.

[1 т]

При напрежение от 9 V крушката изгаря, т.е. мощността, която се отделя в нея е по-голяма от 10 W. Съпротивлението $R_{\max}$ , което отговаря на мощност 10 W при напрежение $U_1 = 9\ \mathrm{V}$ , се задава от:

R_{\max} = \frac{U_1^2}{P} = \frac{81}{10} = 8{,}1\ \Omega.

[1 т]

Стойностите $R_{\min}$ и $R_{\max}$ задават търсения интервал, т.е. съпротивлението на лампата $R_{\mathrm{лампа}}$ е $1{,}6\ \Omega < R_{\mathrm{лампа}} < 8{,}1\ \Omega$ . [1 т]

в) (2 т.)

При последователно свързване токът през консуматорите е един и същ, така че е удобно да използваме израза за мощност $P = I^2 R$ . В такъв случай $\dfrac{P_{\mathrm{лампа}}}{R_{\mathrm{лампа}}} = \dfrac{P_0}{R_0}$ и крушката свети с максимално допустимата мощност, т.е. съпротивлението на крушката е

R_{\mathrm{лампа}} = R_0 \frac{P_{\mathrm{лампа}}}{P_0} = 1{,}4\,\frac{10}{2{,}8} = 5\ \Omega.

[2 т]

г) (3 т.)

Ако свържем крушките към по-мощната батерия (9 V), можем да го направим само последователно, иначе те ще изгорят. Ако свържем крушките към по-слабата батерия (4 V), трябва да го направим успоредно, тъй като така те ще светят с по-голяма мощност, отколкото ако ги свържем последователно.

Трябва да сравним сумарната мощност на крушките при успоредно свързване към по-слабата батерия (5 V) и последователно свързване към по-мощната (9 V).

При последователно свързване към по-мощната батерия еквивалентното съпротивление е $R_{\mathrm{посл}} = R_{\mathrm{лампа}} + R_{\mathrm{лампа}} = 10\ \Omega$ , а двете крушки светят с обща мощност

P_{\mathrm{посл}} = \frac{U_1^2}{R_{\mathrm{посл}}} = \frac{81}{10} = 8{,}1\ \mathrm{W}.

[1,5 т]

При успоредно свързване към по-слабата батерия еквивалентното съпротивление е

R_{\mathrm{успоредно}} = \frac{R_{\mathrm{лампа}} \cdot R_{\mathrm{лампа}}}{R_{\mathrm{лампа}} + R_{\mathrm{лампа}}} = 2{,}5\ \Omega,

а двете крушки светят с обща мощност

P_{\mathrm{успоредно}} = \frac{U_2^2}{R_{\mathrm{успоредно}}} = \frac{16}{2{,}5} = 6{,}4\ \mathrm{W}.

[1,5 т]

Следователно, за по-ярко светеща картичка е по-добре да използваме по-мощната батерия и последователно свързване на крушките.

Забележка: За решаването на задачата е необходимо да се пресметнат и двата израза!

Оригинал в Архива: NOF3_2016_7problems.pdf · официални решения: NOF3_2016_7solutions.pdf