Съдържание

НОФ 2016, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Търкаляне на сандък

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2016

Национален кръг на олимпиадата по физика 2016, тема за 8. клас · 5 април 2016 г. · 10 т.

Условие

Често пъти, когато не сме в състояние да носим тежък и обемист предмет, ние го преместваме чрез претъркалване. На хоризонтален под се намира сандък с маса $m = 50\ \mathrm{kg}$ , който има форма на правоъгълен паралелепипед с дължина $a = 80\ \mathrm{cm}$ , височина $b = 60\ \mathrm{cm}$ и диагонал $d = 100\ \mathrm{cm}$ , както е показано на фигурата. Можете да приемете, че цялата маса на сандъка е съсредоточена в неговия център на тежестта. Сандъкът може да бъде преобръщан, пускан и оставен да пада, без това да наруши целостта му.

Сандък върху пода с означени дължина a, височина b и диагонал d; вертикална сила F е приложена към левия долен ръб. — Фиг. 2.1

Едно пълно претъркалване: сандъкът се изправя на късата си страна и след това ляга отново на дългата си страна. — Фиг. 2.2

А) Каква вертикална сила F трябва да бъде приложена към единия долен ръб на сандъка (фиг. 2.1), така че този край да се повдигне от пода? [2 т.]

Б) Едно пълно претъркалване, т.е. докато сандъкът отново легне на дългата си страна (виж фиг. 2.2), трае общо $t = 10\ \mathrm{s}$ . Колко е средната скорост, с която може да бъде преместван сандъкът по този начин. [2 т.]

В) Колко е минималната работа A, която трябва да извършат мускулите ви за едно пълно претъркалване, ако местите сандъка по описания начин? [5 т.]

Г) Каква средна мощност P биха изразходвали мускулите ви, ако местите сандъка по този начин. [1 т.]

Отговори

Решение

А) Силата G на тежестта на сандъка е приложена към неговия център на тежеста (ЦТ). От правилото за равновесие на едностранен лост имаме:

mg \cdot \frac{a}{2} = F \cdot a

[1 т]

Следователно:

F = \frac{mg}{2} = 250\ \mathrm{N}

[1 т]

Б) За едно претъркалване на сандъка центърът му се премества на разстояние $s = a + b$ . [1 т]

Следователно средната скорост е:

v_{\mathrm{ср}} = \frac{a+b}{t} = 0{,}14\ \mathrm{m/s}

[1 т]

В) Работа трябва да бъде извършвана на тези етапи от претъркалването, когато ЦТ се издига нагоре, т.е. потенциалната енергия на сандъка се увеличава. Ако ЦТ се спуска надолу, тогава сандъкът сам пада върху една от страните си, без да е нужно да му действаме със сила.

Две схеми на сандъка при завъртане около долен ръб, с означени начална височина $h_1$ и крайна височина $h_2$ на центъра на тежестта. — Двата етапа, при които центърът на тежестта се издига: вляво – изправянето от дългата страна, вдясно – накланянето на изправения сандък.

Първият етап, при който се върши работа, е по време на изправянето, докато ЦТ се издигне над долния ръб на сандъка. Началната височина на центъра на масата е:

h_1 = b/2 = 0{,}3\ \mathrm{m} \qquad \textbf{[0,5 т]}

а крайната:

h_2 = d/2 = 0{,}5\ \mathrm{m} \qquad \textbf{[0,5 т]}

Извършената на този етап работа е равна на изменението на потенциалната енергия:

A' = mgh_2 - mgh_1 = 50\ \mathrm{kg} \cdot 10\ \mathrm{m/s^2} \cdot 0{,}2\ \mathrm{m} = 100\ \mathrm{J}

[1 т]

Вторият такъв етап е, когато изправеният сандък се накланя, докато ЦТ отново застане над ръба на сандъка. В този случай:

h_1 = a/2 = 0{,}4\ \mathrm{m} \qquad \textbf{[0,5 т]}

h_2 = d/2 = 0{,}5\ \mathrm{m} \qquad \textbf{[0,5 т]}

като извършената работа е:

A'' = mgh_2 - mgh_1 = 50\ \mathrm{kg} \cdot 10\ \mathrm{m/s^2} \cdot 0{,}1\ \mathrm{m} = 50\ \mathrm{J}

[1 т]

Следователно общата работа за едно претъркалване е:

A = A' + A'' = 150\ \mathrm{J}

[1 т]

Г) От определението за мощност следва:

P = \frac{A}{t} = 15\ \mathrm{W}

[1 т]

Оригинал в Архива: NOF3_2016_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2016_8solutions.pdf