НОФ 2016, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Маркуч с несмесващи се течности

• а) $l = \frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}\dfrac{1}{\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{Х}}}+1} = 4{,}0\ \mathrm{cm}$
• б) $H_1 - H_0 = \frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}\left(\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{В}}+\rho_{\mathrm{Х}}}\right) = 6{,}0\ \mathrm{cm}$
• в) $V_{\mathrm{В}} = \frac{\rho_{\mathrm{Х}}}{\rho_{\mathrm{В}}}V_{\mathrm{Х}} = 4\ \mathrm{cm}^3$

а) В равновесие хидростатичното налягане на нивото на долната част на маркуча, създавано от стълбовете с двата вида течности, е едно и също. [0.5 т.] Нека бележим с $H_0$ височината на стълба хексен в началното състояние, с $h_0$ - височината на стълба вода в началното състояние, с $H_1$ - височината на стълба хексен след доливането на допълнителен обем $V_{\mathrm{Х}}$ хексен, с $h_1$ - височината на стълба вода след доливането на допълнителен обем $V_{\mathrm{Х}}$ хексен. От условието за равенство на хидростатичното налягане следва, че $\rho_{\mathrm{Х}}gH_0 = \rho_{\mathrm{В}}gh_0$. [0.5 т.] След съкращаването на земното ускорение $g$ се получава $\rho_{\mathrm{Х}}H_0 = \rho_{\mathrm{В}}h_0$. (1) Същото условие е изпълнено и след доливането на допълнителния обем хексен: $\rho_{\mathrm{Х}}H_1 = \rho_{\mathrm{В}}h_1$. (2) [0.5 т.] Тъй като количеството вода е едно и също, $h_1 - h_0 = l$. (3) [0.5 т.] При доливане на допълнителен обем $V_{\mathrm{Х}}$ хексен, дължината на течността хексен ще се удължи с $V_{\mathrm{Х}}/S$, следователно $H_1 - H_0 = -l + \frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}$. (4) [0.5 т.] Ако извадим (1) от (2), се получава $\rho_{\mathrm{Х}}(H_1 - H_0) = \rho_{\mathrm{В}}(h_1 - h_0)$, откъдето $\frac{H_1-H_0}{h_1-h_0} = \frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{Х}}}$ . (5) Разделяйки (4) на (3), се получава $\frac{H_1-H_0}{h_1-h_0} = \frac{-l+\frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}}{l} = \frac{V_{\mathrm{Х}}}{Sl} - 1$. [0.5 т.] (6) Приравнявайки десните страни на равенствата (5) и (6) (левите са равни) следва, че $\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{Х}}} = \frac{V_{\mathrm{Х}}}{Sl} - 1$, откъдето $l = \frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}\dfrac{1}{\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{Х}}}+1} =$ (7) [1 т.] $= \frac{6\mathrm{cm}^3}{0,6\mathrm{cm}^2}\dfrac{1}{\frac{1,0\mathrm{g/cm}^3}{2/3\mathrm{g/cm}^3}+1} = 4,0\ \mathrm{cm}$. [1 т.]

б) Промяната $H_1$ - $H_0$ на нивото на хексена може да се намери от (4), замествайки получения резултат за преместването на мехурчето $l$ от (7): $H_1 - H_0 = -\frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}\dfrac{1}{\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{Х}}}+1} + \frac{V_{\mathrm{Х}}}{S} = \frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}\left(\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{В}}+\rho_{\mathrm{Х}}}\right) = \frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}\dfrac{1}{\frac{\rho_{\mathrm{Х}}}{\rho_{\mathrm{В}}}+1} =$ [1 т.] $= \frac{6\mathrm{cm}^3}{0,6\mathrm{cm}^2}\dfrac{1}{\frac{2/3\mathrm{g/cm}^3}{1,0\mathrm{g/cm}^3}+1} = 6,0\ \mathrm{cm}$. [1 т.]

в) Новият обем вода $V_{\mathrm{В}}$, който трябва да се добави към предишната, така че мехурчето да се върне в първоначалното си положение, може да се намери по същия начин, както в подусловие а). Всъщност това е същата задача, но с разменени течности. [1 т.] Следователно и отговорът ще е същият, ако в него се разменят параметрите (плътностите) на двете течности. Правейки това, получаваме от (7): $l = \frac{V_{\mathrm{В}}}{S}\dfrac{1}{\frac{\rho_{\mathrm{Х}}}{\rho_{\mathrm{В}}}+1}$ . (8) [1 т.] Сравняваме десните страни на (7) и (8): $\frac{V_{\mathrm{Х}}}{S}\dfrac{1}{\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{Х}}}+1} = \frac{V_{\mathrm{В}}}{S}\dfrac{1}{\frac{\rho_{\mathrm{Х}}}{\rho_{\mathrm{В}}}+1}$, откъдето $V_{\mathrm{Х}}\rho_{\mathrm{Х}} = V_{\mathrm{В}}\rho_{\mathrm{В}}$, $V_{\mathrm{В}} = \frac{\rho_{\mathrm{Х}}}{\rho_{\mathrm{В}}}V_{\mathrm{Х}} =$ [0.5 т.] $= \frac{2/3\mathrm{g/cm}^3}{1,0\mathrm{g/cm}^3}.6\ \mathrm{cm}^3 = 4\ \mathrm{cm}^3$. [0.5 т.]