НОФ 2017, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Електрическа верига

• а) $R = \frac{U_2R_2 - U_1R_1}{U_1 - U_2} = 20\ \Omega$
• б) $U_0 = \frac{U_1U_2(R_2 - R_1)}{U_2R_2 - U_1R_1} = 10{,}8\ \mathrm{V}$
• в) $R = \sqrt{R_1R_2} = 8\ \Omega$

а) Волтметърът отчита напрежението между краищата на съпротивлението $R$ при двата начина на свързване на източника и волтметъра, тъй като токът през другото съпротивление ($R_2$ или $R_1$) е нула [1 т.]. В първия случай токът е $I_1 = \dfrac{U_0}{R + R_1} = \dfrac{U_1}{R} \;\Rightarrow\; U_0 = \dfrac{R + R_1}{R}\,U_1$. [2 т.]

Във втория случай имаме $I_2 = \dfrac{U_0}{R + R_2} = \dfrac{U_2}{R} \;\Rightarrow\; U_0 = \dfrac{R + R_2}{R}\,U_2$. [2 т.]

Тогава намираме $R = \dfrac{U_2R_2 - U_1R_1}{U_1 - U_2} = 20\ \Omega$. [1,5 т.]

б) Като заместим получения израз за $R$ в един от изразите за $U_0$, получаваме $U_0 = \dfrac{U_1U_2(R_2 - R_1)}{U_2R_2 - U_1R_1} = 10{,}8\ \mathrm{V}$. [1,5 т.]

в) При първото свързване мощността на съпротивлението $R_1$ е $P_1 = I_1^2R_1 = \dfrac{U_0^2R_1}{(R + R_1)^2}$ [0,5 т.], а при второто свързване мощността на съпротивлението $R_2$ е $P_2 = I_2^2R_2 = \dfrac{U_0^2R_2}{(R + R_2)^2}$. [0,5 т.]

От приравняването на тези мощности намираме $R = \sqrt{R_1R_2} = 8\ \Omega$. [1 т.]