Съдържание

НОФ 2017, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 1. Механика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, национален кръг, тема върху учебно съдържание за 10.–12. клас · 10 април 2017 г. · 15 т.

Условие

На фигурата са показани две тела – тяло с пренебрежими размери и маса m и тяло с безкрайна маса и с форма на клин, чиято най-дълга страна е с форма на четвърт окръжност с радиус R. В началния момент малкото тяло минава със скорост $v_1$ край точка 1 в хоризонтално направление. В системата няма триене. Земното ускорение е g. Да се намери:

Клин, чиято дясна страна е четвърт окръжност; малко топче се движи наляво-надясно със скорост v1 край точка 1 в основата, точка 2 е на върха. — Малкото тяло минава край точка 1 със скорост $v_1$ ; най-дългата страна на клина е четвърт окръжност с радиус $R$ , а $\theta$ е ъгълът спрямо вертикалата.

а) височината $H$ , която достига малкото тяло; [1 т.]

б) скоростта v на малкото тяло като функция на ъгъла $\theta$ ; [2 т.]

в) натиска N, който малкото тяло оказва върху голямото тяло като функция на ъгъла $\theta$ . [3 т.]

г) В следващите подточки считайте, че масата на голямото тяло M е сравнима с масата на малкото тяло m и липсва триене между голямото тяло и хоризонталната плоскост, върху която то е поставено. При достатъчно голямо $v_1$ да се намери: хоризонталната $v_{2\mathrm{x}}$ и вертикалната $v_{2\mathrm{y}}$ компоненти на скоростта на малкото тяло в точка 2; [3 т.]

д) какво разстояние x в хоризонтално направление изминава малкото тяло по време на полета си, т.е. от момента, в който се отделя от точка 2 до момента, в който се връща в точка 2; [2 т.]

е) скоростта на малкото тяло $v_1{}'$ , когато то преминава отново край точка 1, след като вече се е спуснало по голямото тяло; [2 т.]

ж) общата работа A на силата на натиск, който оказва малкото тяло върху голямото тяло по време на цялото движение. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като в системата няма триене, в сила е законът за запазване на енергията: $\frac{mv_1^2}{2} = mgH$ [0.5 т.]. Следователно $H = \frac{v_1^2}{2g}$ [0.5 т.].

б) Отново от закона за запазване на енергията имаме $\frac{mv_1^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgR\left(1-\cos\theta\right)$ [1 т.]. Следователно $v = \sqrt{v_1^2 - 2gR\left(1-\cos\theta\right)}$ . [1 т.]

в) Балансът на силите, които действат на малкото тяло в радиално направление, създава центростремително ускорение: $N - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}$ [2 т.]. Така намираме

N = \frac{mv^2}{R} + mg\cos\theta = \frac{mv_1^2}{R} - mg\left(2-3\cos\theta\right).

[1 т.]

г) От закона за запазване на енергията имаме $\frac{mv_1^2}{2} = \frac{mv_{2,x}^2}{2} + \frac{mv_{2,y}^2}{2} + mgR + \frac{Mv_{2,x}^2}{2}$ [1 т.], а от закона за запазване на импулса в хоризонтално направление имаме $mv_1 = \left(m+M\right)v_{2,x}$ [1 т.]. Така намираме двете компоненти:

v_{2,x} = \frac{m}{m+M}v_1,

[0.5 т.]

v_{2,y} = \sqrt{\frac{M}{m+M}v_1^2 - 2gR}.

[0.5 т.]

д) Малкото тяло се движи като тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. Времето на свободен полет е $t = \frac{2v_{2,y}}{g}$ [1 т.], а отместването е $x = v_{2,x}t = \frac{2v_{2,x}v_{2,y}}{g}$ . [1 т.]

е) От закона за запазване на енергията имаме $\frac{mv_1^2}{2} = \frac{mv_1'^2}{2} + \frac{Mu^2}{2}$ [0.5 т.], а от закона за запазване на импулса имаме $mv_1 = -mv_1' + Mu$ [0.5 т.]. Така получаваме $v_1' = \frac{M-m}{M+m}v_1$ . [1 т.]

ж) Работата е равна на промяната на пълната механична енергия на голямото тяло: $A = E_{\mathrm{M}}^2 - E_{\mathrm{M}}^1 = \frac{Mu^2}{2}$ [1 т.]. От предната подточка имаме, че $u = \frac{2mv_1}{m+M}$ [0.5 т.]. Така получаваме $A = \frac{2m^2M}{(m+M)^2}v_1^2$ . [0.5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2017_10-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2017_10-12solutions.pdf