Съдържание

НОФ 2017, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2. Задачи – оценки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, национален кръг, тема върху учебно съдържание за 10.–12. клас · 10 април 2017 г. · 15 т.

Условие

За решаване на задачата-оценка е необходимо да се разбере същността на разглежданото физично явление, да се формулира прост модел на явлението, да се изберат разумни стойности на физичните величини и да се получи числен резултат, който повече или по-малко съответства на реалността.

Полезни данни:

Плътност на леда – $0{,}9\ \mathrm{g/cm^3}$
Плътност на водата – $1\ \mathrm{g/cm^3}$
Скорост на звука във вода – $1500\ \mathrm{m/s}$
Топлина на топене на леда – $335\ \mathrm{kJ/kg}$
Топлина на изпарение на водата при кипене – $2260\ \mathrm{kJ/kg}$
Моларна маса на водата – $18\ \mathrm{g/mol}$
Универсална газова константа – $8{,}3\ \mathrm{J/K.mol}$
Уравнение на състояние на идеален газ – $pV = nRT$ , $n$ – брой молове.

2.1. Оценете налягането $p$ , което дъждовна капка, отделяща се от тавана на пещера, оказва при удара си в пода. Времето на удара на капката в земята, за което тя се разлива, се определя от скоростта на звука във водата. [3 т.]

2.2. В стандартна цилиндрична водна чаша се сипват кубчета лед с маса $m = 100\ \mathrm{g}$ и чашата се покрива плътно с леко капаче. Оценете силата $F$ , която трябва да се приложи към капачето, когато ледът се разтопи, за да се отдели то от чашата едновременно по целия ѝ периметър. [4 т.]

2.3. Оценете скоростта v на струята пара, която излиза от „носа“ на чайник, поставен върху котлон, когато в него кипи вода. В чайника (фиг. 1) е налята малко вода, така че цялото количество образувала се пара излиза само през „носа“ на чайника. [4 т.]

Снимка на метален чайник с чучур, дръжка и капаче. — Фиг. 1. Чайник, поставен върху котлон.

Окръжност с радиус R, чиято лява част е сплесната; означени са деформацията x, хордата 2r и радиусът R. — Фиг. 2. Деформация $x$ на футболна топка с радиус $R$ при удара ѝ в стената; $2r$ е диаметърът на контактния кръг.

2.4. Оценете времето t на съприкосновение на футболна топка и стена при слаб удар на топката в стената. Както се вижда от фиг. 2, ударът е слаб, когато $x \ll R$ . [4 т.]

Отговори

Решение

2.1. По определение налягането $p = F/S$ [0,5 т.]. Силата $F$ , с която капката действа върху земята при удара си, ще оценим чрез закона на Нютон:

F = m\frac{\left|\Delta v\right|}{\Delta t} \sim \frac{mv}{\Delta t},

[0,5 т.]

където $\Delta t$ е времето на удара. Като отчетем, че характерният размер на капката е $r$ , имаме $m = \rho V \sim \rho r^3$ , $\Delta t \sim r/u$ , където $u$ е скоростта на звука, $S \sim r^2$ [1,5 т.], намираме

p \sim \rho vc \sim 10^7\ \mathrm{Pa}.

[0,5 т.]

Тук е отчетено, че скоростта на капката непосредствено преди удара е $v = \sqrt{2gh} \sim 10\ \mathrm{m/s}$ .

2.2. Търсената сила се дава с израза $F = (p_0 - p)S$ [0,5 т.], където $p_0$ е атмосферното налягане, $p$ – налягането на въздуха в чашата след стопяването на леда, $S$ – лицето на отвора на чашата. В началото въздухът в чашата има температура $T_0$ , налягане $p_0$ и обем $V - V_0$ , където $V$ е обемът на чашата, а $V_0$ – обемът на леда. След стопяването на леда температурата на въздуха в чашата става $T$ , налягането $p$ , а обемът $V - V_1$ . Тук $V_1$ е обемът на водата, получена от стопяването на леда. Тъй като въздухът може да се разглежда като идеален газ, имаме

\frac{p(V-V_1)}{T} = \frac{p_0(V-V_0)}{T_0} \quad \Rightarrow \quad p = \frac{V-V_0}{V-V_1}\times\frac{T}{T_0}\times p_0.

[1 т.]

Тогава за силата получаваме израза

F = p_0S\left[1 - \frac{V-V_0}{V-V_1}\times\frac{T}{T_0}\right] = p_0S\left[\frac{V_0-V_1}{V-V_1} + \frac{V-V_0}{V-V_1}\times\frac{T_0-T}{T_0}\right].

[1 т.]

Като отчетем $p_0 = 1\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ , $V = 250\ \mathrm{cm^3}$ , $V_0 = 110\ \mathrm{cm^3}$ , $V_1 = 100\ \mathrm{cm^3}$ , $T_0 = 293\ \mathrm{K}$ , $T = 273\ \mathrm{K}$ , [1 т.] намираме

F \approx 30\ \mathrm{N}.

[0,5 т.]

2.3. Нека мощността на нагревателя (котлона) е $P$ , а специфичната топлина на парообразуване при кипене е $r$ . Ще въведем още един параметър, който ще означим с $\eta$ . Той показва каква част от мощността на котлона отива за парообразуване. За единица време кипящата вода получава количество топлина $\eta P$ [0,5 т.] и се изпарява маса $\eta P/r$ [0,5 т.]. От друга страна през „носа“ на чайника за единица време преминава същата маса пара с плътност $\rho$ и обем $vS$ , [0,5 т.] където $S$ е площта на отвора. От приравняването на двата израза за масата имаме

\frac{\eta P}{r} = \rho vS \quad \Rightarrow \quad v = \frac{\eta P}{r\rho S}.

[0,5 т.]

Разглеждайки парата като идеален газ, можем да изразим плътността ѝ от уравнението на състояние $pV = nRT = (m/\mu)RT$ [0,5 т.], където $m$ е масата на парата, а $\mu$ – моларната маса. Тогава имаме

\rho = \frac{m}{V} = \frac{\mu p}{RT}

[0,5 т.]

и след заместване за скоростта на струята получаваме израза

v = \frac{\eta PRT}{r\mu pS}.

[0,5 т.]

За оценка използваме: $P = 1\ \mathrm{kW}$ , $\eta = 0{,}5$ , $T = 373\ \mathrm{K}$ , $p = 1\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ , $S = 2\ \mathrm{cm^2}$ [0,5 т.], при което имаме

v \approx 2\ \mathrm{m/s}.

[0,5 т.]

2.4. Нека топката е в контакт със стената чрез кръг с радиус $r$ (фиг. 1). Тогава имаме [0,5 т.]

Окръжност с център O и радиус R; вдясно е отбелязана деформацията x и хордата r. — фиг. 1 към решението на 2.4: контактният кръг с радиус $r$ при деформация $x$ на топка с радиус $R$ .

\frac{x}{r} = \frac{r}{2R-x} \quad \Rightarrow \quad r^2 = 2Rx\left(1-\frac{x}{2R}\right) \approx 2Rx, \quad x \ll R.

[0,75 т.]

Силата $F$ , с която топката действа върху стената (или стената действа върху топката), е

F = \pi r^2\Delta p \approx (2\pi R\Delta p)x,

[0,5 т.]

където $\Delta p = p - p_0$ е превишението на налягането $p$ на въздуха в топката над външното (атмосферното) налягане $p_0$ , което по време на удара може да се приеме за постоянно. Тази сила е пропорционална на деформацията $x$ на топката и е аналогична на еластична сила с коефициент на еластичност $\kappa = 2\pi R\Delta p$ [0,5 т.]. Съприкосновението на топката продължава половин период от периода на трептене на топката под действие на тази сила, т.е.

t = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{m}{\kappa}} = \sqrt{\frac{\pi m}{2R\Delta p}}.

[0,5 т.]

За оценка използваме: $m = 0{,}5\ \mathrm{kg}$ , $R = 10\ \mathrm{cm}$ , $\Delta p = 0{,}5\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ [0,75 т.], при което получаваме

t \approx 1{,}3\cdot 10^{-2}\ \mathrm{s} \sim 10^{-2}\ \mathrm{s}.

[0,5 т.]

Оценката може да се направи, ако разглеждаме движението на топката при контакта отначало като равнозакъснително, а след това като равноускорително с едно и също по големина ускорение

a = \frac{F_{\mathrm{ср}}}{m} = \frac{F_{\max}}{2m} = \frac{\pi r_{\max}^2\Delta p}{2m} \approx \frac{\pi RA\Delta p}{m}, \qquad A \ll R.

Топката се притиска към стената (равнозакъснително движение) за време $\tau$ и за същото време отскача от стената (равноускорително движение). Тогава имаме

A = \frac{a\tau^2}{2} \quad \Rightarrow \quad t = 2\tau = 2\sqrt{\frac{2A}{a}} = 2\sqrt{\frac{2m}{\pi R\Delta p}} \approx 1{,}7\cdot 10^{-2}\ \mathrm{s} \sim 10^{-2}\ \mathrm{s}.

Оригинал в Архива: NOF3_2017_10-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2017_10-12solutions.pdf