Съдържание

НОФ 2017, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 3. Кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, национален кръг, тема върху учебно съдържание за 10.–12. клас · 10 април 2017 г. · 15 т.

Условие

Електрическа схема с пет кондензатора, свързани в смесена верига между два извода. — Схемата от Част А: пет кондензатора с еднакви капацитети $C_0$ .

Част А Пет кондензатора с еднакви капацитети $C_0$ са свързани по начина, показан на схемата вляво. Намерете еквивалентния електричен капацитет $C$ между краищата на тази верига. Начертайте еквивалентната схема, от която сте определили капацитета. [3 т.]

Част Б а) Плосък кондензатор е разположен в постоянно външно електрично поле, чийто интензитет има големина $E_0 = 20\ \mathrm{kV/m}$ , както е показано на фигурата вляво. Площта на електродите на кондензатора е $S = 100\ \mathrm{cm^2}$ , а разстоянието между тях е $d = 0{,}5\ \mathrm{mm}$ . Между клемите на кондензатора е подадено неизвестно напрежение $U$ . Диелектричната проницаемост на вакуума е $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ .

Плосък кондензатор с вертикални плочи, свързан към източник U; хоризонтална стрелка E0 сочи надясно над него. — Част Б: плосък кондензатор с приложено напрежение $U$ във външно поле с интензитет $E_0$ .

а) Сумарната електростатична сила, която действа на дясната плоча на кондензатора, е насочена наляво и е с големина $F = 30\ \mathrm{\mu N}$ . На колко е равен зарядът $q$ върху дясната плоча? [4,5 т.]

Част Б б) Като използвате резултата, получен в предната подточка, намерете напрежението $U$ . [2 т.]

Част Б в) Източникът на напрежение е откачен от кондензатора. След това кондензаторът е завъртян по такъв начин, че неговите плочи си разменят местата, като отново са перпендикулярни на външното електрично поле. На колко е равно напрежението $U'$ между електродите на кондензатора след завъртането? [2,5 т.]

Част Б г) Намерете извършената работа $A$ при завъртането на кондензатора. [3 т.]

Отговори

Решение

Мостова схема: два кондензатора в горния клон, два в долния и един в средния вертикален клон между тях. — Еквивалентната схема на веригата от Част А.

Част А Еквивалентната схема на свързване е дадена на фигурата вляво. [1,5 т.] Схемата е симетрична относно средния кондензатор, така че може да го премахнем от веригата. [0,5 т.] Капацитетът между краищата на веригата е $C = C_0$ . [1 т.]

Част Б а) Дясната плоча на кондензатора е заредена положително. [0,5 т.] Големината на сумарната електростатична сила, която ѝ действа, се определя от уравнението: $F = q(E_- - E_0)$ , [1 т.] където $E_-$ е големината на интензитета, създаван от лявата (отрицателно заредена) плоча на кондензатора. Ако няма външно поле, големината на интензитета вътре в кондензатора е $2E_- = \frac{U}{d} = \frac{q}{Cd} = \frac{q}{\varepsilon_0S}$ , т.е. $E_- = \frac{q}{2\varepsilon_0S}$ . [1 т.] Така получаваме квадратно уравнение за търсения заряд $q$ : $q^2 - 2\varepsilon_0SE_0q - 2\varepsilon_0SF = 0$ , [0,5 т.] откъдето $q = \varepsilon_0SE_0 + \sqrt{\varepsilon_0^2S^2E_0^2 + 2\varepsilon_0SF} = 4{,}68\ \mathrm{nC}$ . [1,5 т.]

б) Във външно електрично поле, насочено надясно, големината на интензитета между плочите на кондензатора е $E = 2E_- - E_0 = \frac{q}{\varepsilon_0S} - E_0 = \frac{U}{d}$ , [1 т.] т.е. $U = d\left(\frac{q}{\varepsilon_0S} - E_0\right) = d\sqrt{E_0^2 + \frac{2F}{\varepsilon_0S}} = 16{,}4\ \mathrm{V}$ . [1 т.]

в) След откачането на източника на напрежение от кондензатора плочите му си остават със същия заряд $q$ . [0,5 т.] След завъртането интензитетът между клемите е $E' = 2E_- + E_0 = \frac{q}{\varepsilon_0S} + E_0 = \frac{U'}{d}$ . [1 т.] Оттук $U' = d\left(\frac{q}{\varepsilon_0S} + E_0\right) = d\sqrt{E_0^2 + \frac{2F}{\varepsilon_0S}} + 2dE_0 = 36{,}4\ \mathrm{V}$ . [1 т.]

г) Работата при завъртането на кондензатора е изцяло за преместването на двете противоположно заредени плочи във външното електрично поле (без да се отчита взаимодействието между самите електроди), тъй като електродите на кондензатора остават неподвижни един спрямо друг. [1 т.] Т.е. работата $A = A_L + A_R$ , където $A_L$ е работата за преместването на лявата (отрицателно заредена) плоча на мястото на дясната, а $A_R$ е работата за преместването на дясната (положително заредена) плоча на мястото на лявата. [1 т.] Получава се, че $A = 2qdE_0 = 93{,}5\ \mathrm{nJ}$ . [1 т.]

(Алтернативно може да се използва, че $A = W_f - W_i = \frac{CU'^2}{2} - \frac{CU^2}{2} = 2qdE_0 = 93{,}5\ \mathrm{nJ}$ , където $W_i$ е началната енергия на кондензатора във външното електрично поле, а $W_f$ е крайната енергия на кондензатора. [3 т.])

Оригинал в Архива: NOF3_2017_10-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2017_10-12solutions.pdf