НОФ 2017, III кръг (национален), 7. клас — Задача 2. Фокуси с мощности

(а) Тъй като резисторите са свързани успоредно към източника, напрежението върху всеки от тях е равно на напрежението на източника, т.е. 12 V. [0,5 т]

За първия резистор: $R_1 = \dfrac{U^2}{P_1}$, където $P_1$ се изменя от 6 W до 96 W. Следователно $R_1$ може да се изменя от $1{,}5\ \Omega$ до $24\ \Omega$. [1 т]

За втория резистор: $R_2 = \dfrac{U^2}{P_2} = \dfrac{144}{24}\ \Omega = 6\ \Omega$. [0,5 т]

(б) Тъй като $R_1 = xR_2$, където $R_1$ е в интервала от $1{,}5\ \Omega$ до $24\ \Omega$, а $R_2 = 6\ \Omega$, то $x \in [0{,}25;\ 4]$. [1 т]

(в) При последователно свързване токът през консуматорите е един и същ, така че е удобно да използваме израза за мощност $P = I^2R$.

Еквивалентното съпротивление на веригата е $R = R_2(x+1)$. [0,5 т]

Токът във веригата е $I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{U}{R_2(x+1)}$. [0,5 т]

Общата мощност, отделена в двата резистора, е $P = I^2R = \dfrac{U^2}{R_2}\dfrac{1}{(x+1)}$. [1 т]

Тъй като $U$ и $R_2$ са фиксирани, то промяна на общата мощност настъпва единствено с промяна на $x$. Числото $1/(x+1)$ може само да намалява с увеличаването на $x$, т.е. мощността $P$ намалява с увеличаването на $R_1$. [1 т]

(г) Мощността, отделена в първия резистор може да се запише по един от двата начина:

[1 т]

Тъй като $R_1 = \dfrac{1}{3}R_2 = 2\ \Omega$, за търсената мощност получаваме $P_{1,\text{посл}} = 4{,}5\ \mathrm{W}$. [0,5 т]

Тъй като $\dfrac{x}{(x+1)^2} = \dfrac{1/x}{(1+1/x)^2}$, то ако мощността $P_{1,\text{посл}} = 4{,}5\ \mathrm{W}$ се осъществява при дадена стойност на $x$, то тя ще се осъществява и при стойност $1/x$. Следователно търсената друга стойност на съпротивлението е $R_1 = 3R_2 = 18\ \Omega$. [2,5 т]

Алтернативно решение: 2,5 т

Записваме израза за мощността и заместваме известните ни величини.

което е еквивалентно на $R_1^2 - 20R_1 + 36 = 0$. Знаем, че $R_1 = 2\ \Omega$ изпълнява това условие, следователно можем да разложим горното равенство на множители, един от които става нула при $R_1 = 2\ \Omega$:

където $Z$ е другата търсена стойност на съпротивлението. Разкриваме скобите и сравняваме с първия израз $R_1^2 - (2+Z)R_1 + 2Z = 0$, откъдето намираме $2Z = 36$ или $Z = 18$. Следователно другата стойност на съпротивлението $R_1$ е $R_1 = 18\ \Omega$.