НОФ 2017, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Кинематика

• а) Тяло 2 ще е по-напред с 8 m ($x_1 = 177\ \mathrm{m}$, $x_2 = 185\ \mathrm{m}$).

  Разликата е $x_2 - x_1 = 8\ \mathrm{m}$.

• б) $l_{12} = x_1(t_{12}) - x_2(t_{12}) = 35{,}2\ \mathrm{m} - 19{,}2\ \mathrm{m} = 16\ \mathrm{m}$

  Моментът е $t_{12} = 4\ \mathrm{s}$.

• в) $l_{21} = x_2(t_{21}) - x_1(t_{21}) = 177\ \mathrm{m} - 167\ \mathrm{m} = 10\ \mathrm{m}$

  Моментът е $t_{21} = 18\ \mathrm{s}$.

• г) $t_\mathrm{c} = 12{,}5\ \mathrm{s},\qquad l = 120\ \mathrm{m}$

  Моментът е $t_\mathrm{c} = 12{,}5\ \mathrm{s}$; дотогава всяко от телата е изминало $l = 120\ \mathrm{m}$.

а) До момента време $t = 20\ \mathrm{s}$ тяло 1 е изминало разстояние $x_1 = \frac{8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 5\ \mathrm{s} + 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 9\ \mathrm{s} + \frac{10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 4\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 6\ \mathrm{s} = 177\ \mathrm{m}$. [1 т.]

До момента време $t = 20\ \mathrm{s}$ тяло 2 е изминало разстояние $x_2 = \frac{0\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 12\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 5\ \mathrm{s} + 12\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 10\ \mathrm{s} + \frac{12\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 2\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 5\ \mathrm{s} = 185\ \mathrm{m}$. [1 т.] Следователно тяло 2 ще е по-напред с 8 m. [0.5 т.]

б) Моментът $t_{12}$ е този, в който скоростите на двете тела се изравняват, като преди това тяло 1 се е движило по-бързо. От графиката се определя, че $t_{12} = 4\ \mathrm{s}$. [0,5 т.] Разстоянието $l_{12} = x_1(t_{12}) - x_2(t_{12})$. Тъй като скоростта на телата в момента $t_{12} = 4\ \mathrm{s}$ не може да се отчете точно, то координатите на телата в този момент може да се пресметнат от формулата $x(t) = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ [0,5 т.] като преди това се изчислят искоренията на двете тела. Ускорението $a_1 = \frac{2}{5}\ \mathrm{m/s^2}$, [0,2 т.] а $a_2 = \frac{12}{5}\ \mathrm{m/s^2}$. [0,2 т.] Следователно $x_1(t_{12}) = 8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 4\ \mathrm{s} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}(4\ \mathrm{s})^2 = 35{,}2\ \mathrm{m}$, [0,4 т.] а $x_2(t_{12}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{12}{5}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}(4\ \mathrm{s})^2 = 19{,}2\ \mathrm{m}$. [0,4 т.] Така $l_{12} = 35{,}2\ \mathrm{m} - 19{,}2\ \mathrm{m} = 16\ \mathrm{m}$. [0,3 т.]

в) Моментът $t_{21}$ е този, в който скоростите на двете тела се изравняват, като преди това тяло 2 се е движило по-бързо. От графиката се определя, че $t_{21} = 18\ \mathrm{s}$. [0,5 т.] Разстоянието $l_{21} = x_2(t_{21}) - x_1(t_{21})$. Скоростта на телата в момента $t_{21} = 18\ \mathrm{s}$ е $v(18\ \mathrm{s}) = 6\ \mathrm{m/s}$. [0,5 т.] Следователно $x_1(t_{21}) = \frac{8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 5\ \mathrm{s} + 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 9\ \mathrm{s} + \frac{10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 6\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 4\ \mathrm{s} = 167\ \mathrm{m}$, [0,5 т.] а $x_2(t_{12}) = \frac{0\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 12\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 5\ \mathrm{s} + 12\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 10\ \mathrm{s} + \frac{12\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 6\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 3\ \mathrm{s} = 177\ \mathrm{m}$. [0,5 т.] Така $l_{21} = 177\ \mathrm{m} - 167\ \mathrm{m} = 10\ \mathrm{m}$. [0,5 т.]

г) В момента време $t_\mathrm{c}$, когато разстоянието между тях ще е нула, $x_1(t_\mathrm{c}) = x_2(t_\mathrm{c})$. Предполагаме, че $t_\mathrm{c} \in (5\ \mathrm{s}, 15\ \mathrm{s})$. Тогава $x_1(t_\mathrm{c}) = \frac{8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 5\ \mathrm{s} + 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot(t_\mathrm{c} - 5\ \mathrm{s})$, [0,5 т.] а $x_1(t_\mathrm{c}) = \frac{0\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 12\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 5\ \mathrm{s} + 12\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot(t_\mathrm{c} - 5\ \mathrm{s})$. [0,5 т.] След приравняването им се намира, че $t_\mathrm{c} = 12{,}5\ \mathrm{s}$. [0,5 т.] Дотогава всяко от телата е изминало път $l = \frac{8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}\cdot 5\ \mathrm{s} + 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot(12{,}5\ \mathrm{s} - 5\ \mathrm{s}) = 120\ \mathrm{m}$. [1 т.]

Бележки към оригинала: в б) е изписано „искоренията“ вместо „ускоренията“; в г) вторият израз е означен с $x_1(t_\mathrm{c})$, а по смисъл е $x_2(t_\mathrm{c})$.