Съдържание

НОФ 2018, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Вертикално трептене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, областен кръг, тема за 10–12. клас (четвърта състезателна група) · 18 февруари 2018 г. · 10 т.

Условие

На вертикално висяща пружина с коефициент на еластичност $k = 40\ \mathrm{N/m}$ е окачена теглилка с маса $m = 100\ \mathrm{g}$ (фиг. 1). Приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . В началния момент теглилката е неподвижна, а пружината не е деформирана. Теглилката е оставена да трепти свободно във вертикално направление.

а) Пресметнете периода $T$ и честотата $\nu$ , с които трепти теглилката. [2 т.]

б) Определете амплитудата $A$ на трептенето. [2 т.]

Статив с хоризонтално рамо, на което виси спираловидна пружина; на куката ѝ е окачена правоъгълна теглилка. — Фиг. 1

в) Намерете максималното разтягане $\Delta l_{\mathrm{max}}$ на пружината по време на трептенето. Колко е ускорението $a$ на теглилката, когато пружината е максимално разтегната? [3 т.]

г) Колко време $t$ , след като теглилката е пусната, тя достига максимална скорост? Колко е големината $v_{\mathrm{max}}$ на максималната скорост? [3 т.]

Отговори

Решение

а) Периодът на пружинното махало е:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 0{,}314\ \mathrm{s}.

[1 точка]

Честотата на трептене е съответно:

\nu = \frac{1}{T} \approx 3{,}18\ \mathrm{Hz}.

[1 точка]

б) Амплитудата на трептене е равна на разстоянието между крайното горно, т.е. началното, положение на теглилката и равновесното ѝ положение. (словесно обяснение или чертеж – 0,5 точки) В равновесното положение силата на тежестта върху теглилката се уравновесява със силата на еластичност на пружината:

mg = k\Delta l.

[0,5 точки]

Понеже в началото пружината не е разтегната, големината $\Delta l$ на деформацията ѝ в равновесно положение e равна на амплитудата на трептене:

\Delta l = A.

[0,5 точки]

Следователно:

A = \frac{mg}{k} = 0{,}025\ \mathrm{m}\ (2{,}5\ \mathrm{cm}).

[0,5 точки]

в) Пружината е максимално разтегнато в крайното долно положение на махалото. Крайното долно и крайното горно положение на махалото са разположени симетрично спрямо равновесното му положение. (словесно обяснение или чертеж – 0,5 точки) Следователно максималното разтягане на пружината е:

\Delta l_{\mathrm{max}} = 2A = 0{,}05\ \mathrm{m}\ (5\ \mathrm{cm}).

[1 точка]

В крайното долно положение на махалото действат сила на еластичност, насочена нагоре и сила на тежестта, насочена надолу. От II принцип на механиката следва:

ma = k\Delta l_{\mathrm{max}} - mg.

[1 точка]

Като използваме, че $\Delta l_{\mathrm{max}} = 2A = 2mg/k$ , намираме:

a = g = 10\ \mathrm{m/s^2}.

[0,5 точки]

г) След като теглилката бъде пусната, тя се ускорява, докато силата на тежесктта е по-голяма от силата на еластичност. Следователно теглилката достига максимална скорост, когато минава през равновесното си положение. (0,5 точки). Времето за движение от крайно горно до равновесно положение е:

t = \frac{T}{4} = 0{,}0785\ \mathrm{s}.

[0,5 точки]

От закона за запазване на механичната енергия следва:

E_{\mathrm{p1}} = E_{\mathrm{p2}} + \frac{mv_{\mathrm{max}}^2}{2},

[0,25 точки]

където $E_{\mathrm{p1}}$ е потенциалната енергия на системата в крайно горно положение, а $E_{\mathrm{p2}}$ – потенциалната енергия в равновесното положение. Ако приемем равновесното положение на теглилката за нулева височина, в крайно горно положение тя има гравитационна потенциална енергия:

E_{\mathrm{p1}} = mgA = \frac{(mg)^2}{k}.

[0,5 точки]

Когато теглилката минава през равновесно положение, тя има нулева гравитационна потенциална енергия, но тогава пружината е разтегната и има еластична потенциална енергия:

E_{\mathrm{p2}} = \frac{kA^2}{2} = \frac{(mg)^2}{2k}.

[0,5 точки]

Следователно:

\frac{(mg)^2}{k} = \frac{(mg)^2}{2k} + \frac{mv_{\mathrm{max}}^2}{2},

[0,25 точки]

откъдето получаваме:

v_{\mathrm{max}} = g\sqrt{\frac{m}{k}} = 0{,}5\ \mathrm{m/s}.

[0,5 точки]

Оригинал в Архива: NOF2_2018_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2018_10-12solutions.pdf