Съдържание

НОФ 2018, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Електрическа верига

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, областен кръг, Тема за 8. клас (втора състезателна група) · 18 февруари 2018 г. · 10 т.

Условие

Батерия с напрежение $U = 5\ \mathrm{V}$ е свързана с амперметър и три резистора с неизвестни съпротивления $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ , както е показано на фигурата вляво. Ключът във веригата има три положения: „a“, „b“ и „отворено“ (показано на фигурата). Мощността, която се отделя в цялата верига при отворен ключ, е $P_{\mathrm{отв}} = 10\ \mathrm{mW}$ . В положение „a“ се отделя пълна мощност $P_{\mathrm{a}} = 15\ \mathrm{mW}$ , а в положение „b“: $P_{\mathrm{b}} = 25\ \mathrm{mW}$ .

а) Какви са показанията на амперметъра при трите положения на ключа: $I_{\mathrm{a}}$ , $I_{\mathrm{b}}$ и $I_{\mathrm{отв}}$ ? [2,5 т.]

б) Намерете стойностите на съпротивленията $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ . [7,5 т.]

Решение

а) (2,5 т.)

Когато ключът е в положение „a“, амперметърът измерва тока $I_{\mathrm{a}}$ през батерията, т.е. мощността, която се отделя в цялата верига, е $P_{\mathrm{a}} = UI_{\mathrm{a}}$ , откъдето $I_{\mathrm{a}} = \frac{P_{\mathrm{a}}}{U} = 3\ \mathrm{mA}$ . [1 т.] При положение „b“ на ключа през амперметъра не преминава ток (напрежението върху резистора със съпротивление $R_3$ е нулево), т.е. $I_{\mathrm{b}} = 0$ . [0,5 т.] Когато ключът е отворен, амперметърът отново измерва тока през батерията, като отделената мощност е $P_{\mathrm{отв}} = UI_{\mathrm{отв}}$ и $I_{\mathrm{отв}} = \frac{P_{\mathrm{отв}}}{U} = 2\ \mathrm{mA}$ . [1 т.]

б) (7,5 т.)

Нека първо да разгледаме случая, когато ключът е в положение „b“. Тогава токове не протичат през резисторите със съпротивления $R_2$ и $R_3$ , а еквивалентното съпротивление на веригата е $R_{\mathrm{b}} = R_1$ . [0,5 т.] Отделената мощност е $P_{\mathrm{b}} = \frac{U^2}{R_{\mathrm{b}}}$ , откъдето $R_1 = \frac{U^2}{P_{\mathrm{b}}} = 1\ \mathrm{k\Omega}$ . [1 т.] След това да разгледаме веригата с отворен ключ. Резисторите със съпротивления $R_1$ и $R_3$ са свързани последователно, като съответното еквивалентно съпротивление на веригата е $R_{\mathrm{отв}} = R_1 + R_3$ . [1 т.] От закона на Ом следва, че $R_{\mathrm{отв}} = \frac{U}{I_{\mathrm{отв}}}$ [0,5 т.], откъдето се получава, че $R_3 = \frac{U}{I_{\mathrm{отв}}} - R_1 = \frac{U^2}{P_{\mathrm{отв}}} - \frac{U^2}{P_{\mathrm{b}}} = \frac{U^2(P_{\mathrm{b}}-P_{\mathrm{отв}})}{P_{\mathrm{b}}P_{\mathrm{отв}}} = 1{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ [1 т.]. Накрая да разгледаме ключа в положение „a“. В този случай резисторите със съпротивления $R_1$ и $R_2$ са свързани успоредно и тяхното еквивалентно съпротивление е $R_{12} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ . [1 т.] Последователно на тях е свързан резисторът със съпротивление $R_3$ , откъдето еквивалентното съпротивление на цялата верига е $R_{\mathrm{a}} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_3$ . [0,5 т.] От закона на Ом получаваме, че $R_{\mathrm{a}} = \frac{U}{I_{\mathrm{a}}}$ , т.е. $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_3 = \frac{U}{I_{\mathrm{a}}}$ . [0,5 т.] Като заместим вече получените изрази за $R_1$ и $R_3$ , ще намерим, че $R_2 = \frac{U^2(P_{\mathrm{a}}P_{\mathrm{отв}}+P_{\mathrm{b}}P_{\mathrm{отв}}-P_{\mathrm{a}}P_{\mathrm{b}})}{P_{\mathrm{b}}^2(P_{\mathrm{a}}-P_{\mathrm{отв}})} = 0{,}2\ \mathrm{k\Omega}$ . [1,5 т.]

Забележка

Всяка задача се оценява с максимален брой 10 точки.

Внимание! (важи за решенията на всички задачи)

За всякакви алтернативни решения, обяснени ясно и получаващи същите резултати, да се присъжда пълния брой точки, посочени за съответното подусловие.

Оригинал в Архива: NOF2_2018_8problems.pdf · официални решения: NOF2_2018_8solutions.pdf