НОФ 2018, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1. Равновесие на електрични заряди

• а) $x = l\,\dfrac{1}{\sqrt{\frac{q_1}{|q_2|}}-1} = 3\ \mathrm{cm}$

  Единственото възможно място е върху продължението на правата отвъд заряд 2, на разстояние $x = 3\ \mathrm{cm}$ от него (от страната, противоположна на заряд 1).

• б) неустойчиво

  При отместване надясно резултантната сила е насочена надясно, т.е. отдалечава заряда от равновесното положение.

• в) $q_3 = q_1\left(\dfrac{x}{l}\right)^2 = q_1\dfrac{1}{\left(\sqrt{\frac{q_1}{|q_2|}}-1\right)^2} = 2{,}25\ \mathrm{\mu C}$

• г) да

  $F_1 = F_{12} + F_{13} = -F_{21} - F_{31} = F_{23} + F_{32} = 0$.

• д) не

  И в четирите зони A, B, C и D резултантната сила върху заряд 4 е различна от нула.

а) Нека заряд 1 е отляво, а заряд 2 е отдясно (виж първата фигура). Ако третият заряд, зареден положително, се постави отляво на $q_1$ на разстояние $x$ от него, двете сили, които ще му действат, ще бъдат с противоположни посоки, но в никое положение не могат да станат равни по големина, защото навсякъде $|F_{31}| = k\dfrac{q_3q_1}{x^2} > |F_{32}| = k\dfrac{q_3|q_2|}{(x+l)^2}$ (тъй като $q_1 > |q_2|$). [0,3 т.]

Ако третият заряд се постави между зарядите $q_1$ и $q_2$ (виж втората фигура), двете сили, които ще му действат, ще бъдат с еднакви посоки и също няма положение на равновесие. [0,3 т.]

Ако третият заряд се постави отдясно на $q_2$ (виж третата фигура) на такова разстояние $x$ от него, където двете сили, които ще му действат, се уравновесяват, то $F_{31} = k\dfrac{q_3q_1}{(x+l)^2} = |F_{32}| = k\dfrac{q_3|q_2|}{x^2}$, [0,2 т.] откъдето $\dfrac{l+x}{x} = \sqrt{\dfrac{q_1}{|q_2|}}$. [0,2 т.]

Така $x = l\,\dfrac{1}{\sqrt{\frac{q_1}{|q_2|}}-1}$ [0,5 т.] $= 6\ \mathrm{cm}\ \dfrac{1}{\sqrt{\frac{9}{1}}-1} = 3\ \mathrm{cm}$. [0,5 т.]

б) Ако отместим заряд 3 на разстояние $y$ надясно от равновесното му положение, то резултантната сила, която ще му действа, е $F_3 = F'_{31} + F'_{32} = k\dfrac{q_3q_1}{(x+l+y)^2} - k\dfrac{q_3|q_2|}{(x+y)^2} = k\dfrac{q_3q_1}{(x+l)^2}\dfrac{1}{\left(1+\frac{y}{x+l}\right)^2} - k\dfrac{q_3|q_2|}{x^2}\dfrac{1}{\left(1+\frac{y}{x}\right)^2} = F_{31}\dfrac{1}{\left(1+\frac{y}{x+l}\right)^2} - |F_{32}|\dfrac{1}{\left(1+\frac{y}{x}\right)^2} = F_{31}\left(\dfrac{1}{\left(1+\frac{y}{x+l}\right)^2} - \dfrac{1}{\left(1+\frac{y}{x}\right)^2}\right) > 0$. [1 т.] Следователно резултантната сила ще е надясно. Тя ще отдалечава заряда от равновесното му положение и то е неустойчиво. [1 т.]

в) За да бъде заряд 2 в равновесие, двете сили, които му действат, трябва да се уравновесяват: $|F_{21}| = |F_{23}|$, $k\dfrac{q_1|q_2|}{l^2} = k\dfrac{q_3|q_2|}{x^2}$, [0,5 т.] откъдето $q_3 = q_1\left(\dfrac{x}{l}\right)^2$ [0,5 т.] $= q_1\dfrac{1}{\left(\sqrt{\frac{q_1}{|q_2|}}-1\right)^2}$ [0,5 т.] $= 9\ \mathrm{\mu C}\ \dfrac{1}{\left(\sqrt{\frac{9}{1}}-1\right)^2} = 2{,}25\ \mathrm{\mu C}$. [0,5 т.]

г) От условието за равновесие на третия заряд, $F_{31} = -F_{32}$. [0,4 т.] От условието за равновесие на втория заряд, $-F_{21} = F_{23}$. [0,4 т.] От третия закон на Нютон, приложен за всяка двойка заряди, $F_{12} = -F_{21}$, $F_{13} = -F_{31}$, $F_{23} = -F_{32}$. [0,6 т.] Използвайки тези равенства, резултантната сила, действаща на първия заряд, е $F_1 = F_{12} + F_{13} = -F_{21} - F_{31} = F_{23} + F_{32} = 0$. Следователно и заряд 1 ще бъде в равновесие. [0,6 т.]

д) Нека да разгледаме четирите възможни интервали (зони A, B, C и D), където заряд 4 може да е в равновесие. В зона A резултантната сила, действаща на заряд 4 (ако той се намира на разстояние $z$ от заряд 1), е $F_4 = F_{41} + F_{42} + F_{43} < F_{41} + F_{42} = -k\dfrac{q_4q_1}{z^2} + k\dfrac{q_4|q_2|}{(z+l)^2} < 0$, тъй като $q_1 > |q_2|$. Следователно резултантната сила ще е насочена винаги наляво (заряд 4 ще се отблъсква от останалите 3 заряди). [0,5 т.]

В зона B по същите причини резултантната сила ще е насочена винаги надясно. Наистина, нека заряд 4 се намира на разстояние $z$ от заряд 3. Тогава равнодействащата му сила $F_4 = F_{41}+F_{42}+F_{43} > F_{42} + F_{43} = -k\dfrac{q_4|q_2|}{(z+x)^2} + k\dfrac{q_4q_3}{z^2} > 0$, тъй като $q_3 > |q_2|$. [0,5 т.]

За зона C (ако заряд 4 се намира на разстояние $z$ от заряд 3) $F_4 = F_{41}+F_{42}+F_{43} < F_{41} + F_{42} = k\dfrac{q_4q_1}{(x+l-z)^2} - k\dfrac{q_4|q_2|}{(x-z)^2} = k\dfrac{q_4q_1}{(x+l)^2}\dfrac{1}{\left(1-\frac{z}{x+l}\right)^2} - k\dfrac{q_4|q_2|}{x^2}\dfrac{1}{\left(1-\frac{z}{x}\right)^2} = k\dfrac{q_4}{q_3}\left[\dfrac{q_3q_1}{(x+l)^2}\dfrac{1}{\left(1-\frac{z}{x+l}\right)^2} - \dfrac{q_3|q_2|}{x^2}\dfrac{1}{\left(1-\frac{z}{x}\right)^2}\right] = k\dfrac{q_4}{q_3}\left[F_{31}\dfrac{1}{\left(1-\frac{z}{x+l}\right)^2} - |F_{32}|\dfrac{1}{\left(1-\frac{z}{x}\right)^2}\right] = k\dfrac{q_4}{q_3}F_{31}\left(\dfrac{1}{\left(1-\frac{z}{x+l}\right)^2} - \dfrac{1}{\left(1-\frac{z}{x}\right)^2}\right) < 0$. Следователно в зона C резултантната сила ще е насочена винаги наляво. [0,5 т.]

За зона D (ако заряд 4 се намира на разстояние $z$ от заряд 2) $F_4 = F_{41}+F_{42}+F_{43} > F_{41} + F_{43} = k\dfrac{q_1q_4}{(l-z)^2} - k\dfrac{q_4q_3}{(x+z)^2} = kq_4\left[\dfrac{q_1}{(l-z)^2} - \dfrac{q_3}{(x+z)^2}\right]$. Използвайки получените резултати в подусловия а) и в), $F_4 = kq_4\left[\dfrac{9\,\mathrm{\mu C}}{(6\,\mathrm{cm}-z)^2} - \dfrac{\frac{9}{4}\,\mathrm{\mu C}}{(3\,\mathrm{cm}+z)^2}\right] = kq_4\left[\dfrac{9\,\mathrm{\mu C}}{(6\,\mathrm{cm}-z)^2} - \dfrac{9\,\mathrm{\mu C}}{(6\,\mathrm{cm}+2z)^2}\right] > 0$. Следователно в зона D резултантната сила ще е насочена винаги надясно. [0,5 т.] Така, оказва се, че никъде не съществува положение, в което четвъртият положително зареден заряд да бъде в равновесие.

Внимание! (важи за решенията на всички задачи)

За всякакви алтернативни решения, обяснени ясно и получаващи същите резултати, да се присъжда пълния брой точки, посочени за съответното подусловие.