Съдържание

Условие 1 Теоретична част 2 Задачи 3 Уреди и материали Отговори Решение

НОФ 2018, III кръг (национален), 10–12 клас, експеримент, лист 2 — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. НАЦИОНАЛЕН КРЪГ, 4 април 2018 г., Русе. Тема 10.–12. клас (четвърта състезателна група). Експериментален кръг. Задача 2 · 4 април 2018 г.

Внимание: Бележка към темата

Файлът с решения в архива е за теоретичния кръг; официалното решение на тази задача е взето от стр. 3–4 на файла с условието.

Условие

1 Теоретична част

Молекулите от повърхностния слой на течност, която се намира в контакт с друго вещество, изпитват различни сили в сравнение с молекулите от обема на течността. Това е следствие от различното обкръжение на молекулите от повърхностния слой. Силата, която действа на тези молекули, ще е перпендикулярна на граничната повърхност, като големината и посоката ѝ ще зависят от вида на двете среди.

Да разгледаме границата вода–въздух. Тъй като водата е по-плътна, то силата, която действа на молекулите на водата от повърхността, ще е насочена към вътрешността на водата. За да премине молекула от вътрешността на водата към повърхностния слой, тя ще извърши отрицателна работа $dA$ , при което площта на повърхността ще нарасне с $dS$ , като е изпълнено следното равенство:

dA = -\sigma dS.

Коефициентът $\sigma$ се нарича коефициент на повърхностно напрежение ( $\sigma > 0$ ) и има смисъл на работата, която е необходима, за да се увеличи повърхността на течността с $1\ \mathrm{m^2}$ .

Сега нека разгледаме водната повърхност в близост до стените на съда, в който се намира водата. Отново поради взаимодействието между молекулите на водата с тези на съда (и въздуха), повърхността на водата в близост до стените се изкривява. Ако размерите на съда са сравними с радиуса на кривината, то явленията, които се наблюдават в такива случаи, се наричат капилярни и се обуславят от наличието на повърхностно напрежение. Така например, ако вземем тънка стъклена тръбичка (капилярка) с радиус $r$ и я потопим във вода, нивото на водата в тръбичката $h$ ще е по-високо от това на водата извън нея, като:

h = \frac{2\sigma}{\rho g r},

Две вертикални стъклени пластини, допрени по единия вертикален ръб и леко разтворени под малък ъгъл, стоят във вода; водата между тях се издига по хиперболична крива, най-високо до общия ръб. Отбелязани са точка (x, y) върху кривата, дължината L на пластините по дъното и разстоянието D между свободните им ръбове. — Фигура 1

където $\rho$ е плътността на водата, а $g$ е земното ускорение.

Като използваме написаното по-горе, може да се покаже, че ако вземем две стъклени пластини, които сключват малък ъгъл $\varphi$ (такъв, че $D \approx \varphi L$ ; виж Фигура 1) и запълним разстоянието между тях с вода, то височината на водата, на разстояние $x$ от общия ръб на двете пластини, ще се дава с израза

y = \frac{2\sigma L}{\rho g D x}, \qquad (1)

където тук отново $\rho = 998\ \mathrm{kg/m^3}$ е плътността на водата, $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ е земното ускорение, $\sigma$ е коефициентът на повърхностно напрежение на водата, а разстоянията $L$ и $D$ са означени на Фигура 1.

2 Задачи

Определете коефициента на повърхностното напрежение $\sigma$ на границата вода–въздух. При изпълнение на задачата спазвайте следната последователност:

1. Опишете кратко и ясно последователността на провеждане на измерванията, като наблегнете само на най-важното. [3 т.]

2. Представете зависимостта (1) с подходящи променливи, така че да получите линейна зависимост, от която да може да се определи $\sigma$ с минимална грешка. [3 т.]

3. Направете необходимите измервания и представете данните таблично (използвайте предоставения лист за таблицата). [5 т.]

4. Използвайте експерименталните данни от задача 3. и представете зависимостта от задача 2. графично. [5 т.]

5. Пресметнете $\sigma$ от наклона на правата от задача 4. [2 т.]

6. Оценете абсолютната и относителната грешка на $\sigma$ . Представете крайния резултат за $\sigma$ , като отчитате пресметнатите грешки. [2 т.]

3 Уреди и материали

Вода — 300 ml
Пластмасова ваничка — 1 бр.
Стъкла с размери $(200 \times 180 \times 4)\ \mathrm{mm}$ — 2 бр.
Капилярка с означен външен диаметър — 1 бр.
Метални щипки — 2 бр.
Ластици — 3–4 бр.
Тънкописец — 1 бр.
Метална линия — 1 бр.
Салфетки — 2–3 бр.
Попивателна кърпа — 1 бр.
Милиметрова хартия — 1 л.

Забележка: Ако намокрите върха на тънкописеца, най-вероятно ще спре да пише. За да го използвате отново го разклатете добре. Салфетките могат да бъдат използвани за подсушаване на стъклата и/или за почистването им от мастилото на тънкописеца.

Отговори

Решение

1. Опишете кратко и ясно последователността на провеждане на измерванията, като наблегнете само на най-важното.

Последователност на провеждане на измерванията: за определяне на коефициента на повърхностно напрежение $\sigma$ по описания метод в теоретичната част, трябва да снемем зависимост от вида $y \propto 1/x$ , която да сведем до линейна. За целта трябва да получим „картина“ подобна на Фигура 1. Нека използваме ластиците, за да прикрепим едното стъкло към другото, като ги разделяме в единия край с помощта на капилярката. Може точно да позиционираме капилярката, като използваме линията. Фиксираме стъклата и капилярката с металните щипки, които поставяме в долния край на стъклата – така щипките ще ги държат изправени. Наливаме вода във ваничката и поставяме стъклата в нея. За да изглежда повърхността на водата между стъклата като тази показана на Фигура 1, трябва добре да намокрим вътрешната повърхност на стъклата и да изчакаме докато кривата стане гладка. Подсушаваме външната страна на едното стъкло със салфетките. Използваме тънкописеца, за да маркираме с точки върху външната част на стъклото водната повърхност между двете стъкла. Тъй като стъклата са дебели 4 mm, при маркирането трябва да гледаме нормално към стъклото. След като сме маркирали водната повърхност, внимателно разделяме двете стъкла и измерваме координатите на точките спрямо ръбовете на стъклото. Тъй като в първите 10 cm от линията най-малкото деление е 0.5 mm, ще гледаме точки, които имат координати не повече от 10 cm. Освен това, в двата края на хиперболата координатите се определят неточно (хиперболата е много стръмна/полегата). При измерване на разстоянието $L$ отчитаме, че ръбовете на стъклата са скосени, т.е. $L < 200\ \mathrm{mm}$ . (3 т.)

2. Представете зависимостта (1) с подходящи променливи, така че да получите линейна зависимост, от която да може да се определи $\sigma$ с минимална грешка.

За да получим линейна зависимост, може да въведем нова променлива $x' = 1/x$ . Тогава (1) се записва като:

y = ax',

където $a = \dfrac{2\sigma L}{\rho g D} = \mathrm{const}.$

В описания по-горе начин, измерените координати на точките са спрямо ръбовете на стъклото. Това значи, че от ординатата на всяка точка $y'$ трябва да извадим височината на водата във ваничката $b$ , така че $y = y' - b$ . За да намалим грешката от пряко измерване на $b$ , може просто да заместим $y$ в горната зависимост и така окончателно получаваме зависимост от вида:

y' = ax' + b.

(3 т.)

3. Направете необходимите измервания и представете данните таблично (използвайте предоставения лист за таблицата).

Измерените експериментални данни са представени в таблицата по-долу. При отбелязани мерни единици в таблицата се дават (0.5 т.). При поне десет измервания се дават (3.5 т.), за под пет измервания се дават (1.5 т.).

Ако поставим капилярката в края на стъклото, разстоянието $D = (2.98 \pm 0.02)\ \mathrm{mm}$ е равно на диаметъра на капилярката, а като отчетем скосяването на ръбовете на стъклото: $L = (197.0 \pm 0.5)\ \mathrm{mm}$ . Абсолютните грешки на $x$ , $y'$ и $x'$ са съответно $\Delta x \equiv \Delta y' = 0.5\ \mathrm{mm}$ и $\Delta x' = x'^2 \Delta x$ . (1 т.)

$x$ (mm)	$y' = y + b$ (mm)	$x' = 1/x$ ( $10^{-3}\ \mathrm{mm^{-1}}$ )
75.5	21.0	13.2
70.0	22.0	14.3
65.5	22.5	15.3
60.0	24.0	16.7
55.0	25.5	18.2
50.0	27.0	20.0
45.0	29.0	22.2
40.0	31.0	25.0
35.0	34.0	28.6
30.5	37.5	32.8
26.5	42.0	37.7
23.5	46.5	42.6

4. Използвайте експерименталните данни от задача 3. и представете зависимостта от задача 2. графично.

Точки за графиката се дават, ако е използвана цялата площ на листа милиметрова хартия; (1.5 т.) по осите на графиката са означени съответните величини и мерните им единици; (1.5 т.) нанесени са всички точки от таблицата в задача 3. (2 т.)

Графика на y' (mm) от x' (10⁻³ mm⁻¹): 12 експериментални точки с кръстове за грешките лежат на права; по оста x' от 15 до 40, по оста y' от 20 до 45. В легендата: y' = ax' + b, a = 859.0 mm² ± 0.8%, b = 9.7 mm ± 1.8%.

5. Пресметнете $\sigma$ от наклона на правата от задача 4.

Наклонът на графиката може да се определи по метода на най-малките квадрати (или графично, като се използват две точки от правата), откъдето получаваме $a = 859.0\ \mathrm{mm^2} \pm 1.8\%$ . Съответно $\bar{\sigma} = \dfrac{a\rho g D}{2L} = 63.6\ \mathrm{mN/m}$ . (2 т.)

6. Оценете абсолютната и относителната грешка на $\sigma$ . Представете крайния резултат за $\sigma$ , като отчитате пресметнатите грешки.

Абсолютната грешка може да пресметнем по формулата $\Delta\bar{\sigma} = \sqrt{\sum_i \left(\dfrac{\partial \bar{\sigma}}{\partial z_i}\Delta z_i\right)^2}$ , където $z_i$ е всяка една от величините участващи в горния израз за $\bar{\sigma}$ . Относителна грешка пресмятаме, като $r = \Delta\bar{\sigma}/\sigma$ . Така окончателно получаваме:

\sigma = \bar{\sigma} \pm \Delta\bar{\sigma},\quad \sigma = (63.6 \pm 1.2)\ \mathrm{mN/m},

(1 т.)

\sigma = \bar{\sigma} \pm r,\quad \sigma = 63.6\ \mathrm{mN/m} \pm 1.8\%.

(1 т.)

Оригинал в Архива: 10-12_exp2.pdf · официални решения: NOF3_2018_10-12solutions.pdf