НОФ 2019, II кръг (областен), 8. клас — Задача 2. Свободно падане

• а) $t' = \frac{2 s_{\mathrm{п}} + g t_0^2}{2 g t_0} = 5\ \mathrm{s},\qquad s' = \frac{\big(2 s_{\mathrm{п}} + g t_0^2\big)^2}{8 g t_0^2} = 125\ \mathrm{m}$

  Две числени стойности: $t' = 5\ \mathrm{s}$ (допуск $\pm 0{,}05\ \mathrm{s}$) и $s' = 125\ \mathrm{m}$ (допуск $\pm 1\ \mathrm{m}$).

• б) $\frac{v_1'}{v_2'} = \frac{t'}{t' - t_0} = \frac{2 s_{\mathrm{п}} + g t_0^2}{2 s_{\mathrm{п}} - g t_0^2} = \frac{5}{3}$

  Безразмерно отношение, $5/3 \approx 1{,}67$.

• в) $\Delta t = t_0 + \sqrt{\frac{2\big(H - s_{\mathrm{п}}\big)}{g}} - \sqrt{\frac{2H}{g}} \approx 0{,}76\ \mathrm{s}$

а) Изразът за изминатия от първата топка път е $s_1 = g t^2/2$ [0,5 т.], където с $t$ сме означили времето след пускането на топката. Втората топка е пусната време $t_0$ след първата, откъдето изразът за нейния път е $s_2 = g(t - t_0)^2/2$. [1 т.] За да се намират топките на една и съща височина, трябва $s_1(t') - s_{\mathrm{п}} = s_2(t')$ [0,5 т.], т.е. $\dfrac{g t'^2}{2} - s_{\mathrm{п}} = \dfrac{g\big(t' - t_0\big)^2}{2}$. [0,5 т.] Решението на това уравнение е $t' = \dfrac{2 s_{\mathrm{п}} + g t_0^2}{2 g t_0} = 5\ \mathrm{s}$. [1,5 т.] Търсеното разстояние $s'$ от покрива на небостъргача е $s' = s_1(t') = \dfrac{\big(2 s_{\mathrm{п}} + g t_0^2\big)^2}{8 g t_0^2} = 125\ \mathrm{m}$. [1 т.]

б) Скоростите на топките се изразяват чрез следните зависимости: $v_1 = g t$ [0,5 т.], $v_2 = g(t - t_0)$ [1 т.], така че търсеното отношение е $\dfrac{v_1'}{v_2'} = \dfrac{v_1(t')}{v_2(t')} = \dfrac{t'}{t' - t_0} = \dfrac{2 s_{\mathrm{п}} + g t_0^2}{2 s_{\mathrm{п}} - g t_0^2} = \dfrac{5}{3}$. [1 т.]

в) Изминалото време между моментите на падане на двете топки на земята е $\Delta t = t_2 - t_1$, където $t_1 = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}$ [0,5 т.] е времето, за което първата топка достига до земята, а $t_2 = t_0 + \sqrt{\dfrac{2\big(H - s_{\mathrm{п}}\big)}{g}}$ [1 т.] е времето, което е нужно на втората топка, за да стигне до земята. Така $\Delta t = t_0 + \sqrt{\dfrac{2\big(H - s_{\mathrm{п}}\big)}{g}} - \sqrt{\dfrac{2H}{g}} \approx 0{,}76\ \mathrm{s}$. [1 т.]