НОФ 2019, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Мотоциклети

• а) $a_1 = \frac{v_1^{\,2} - v_0^{\,2}}{2r} = 2{,}25\ \mathrm{m/s^2}$

• б) $T_1 = \frac{2\pi r}{v_0} + \frac{8r}{v_1 + v_0} \approx 49{,}2\ \mathrm{s}$

  По-точна стойност: 49,194 s.

• в) $v_2 = \frac{8r}{T_2 - \frac{2\pi r}{v_0}} - v_0 \approx 62{,}7\ \mathrm{m/s} \approx 226\ \mathrm{km/h}$

• г) $a_2 = \frac{v_2^{\,2} - v_0^{\,2}}{2r} \approx 5{,}82\ \mathrm{m/s^2}$

  По-точна стойност: 5,8185 m/s².

• д) $v_3 = v_1 - a_1\left(T_{2\text{ф}} - 9{,}5\,T_1 - t_{\text{ст−фин}1}\right) \approx 45{,}25\ \mathrm{m/s} \approx 163\ \mathrm{km/h}$

  Първият мотоциклет се намира в средата на лявата половина на горната права отсечка (на около 100 m след средата ѝ) и се движи равнозакъснително.

а) Ако приемем за нулев момент време пресичането на първия мотоциклет на старта, то неговата скорост се мени така: $v = v_0 + a_1 t$, [0,3 т.] а положението му (ако изберем стартовото положение за нулево) така: $x = v_0 t + \frac{1}{2} a_1 t^2$. [0,3 т.] Замествайки времето $t$ от първото уравнение във второто, се получава $x = \frac{v^2 - v_0^{\,2}}{2a_1}$. [0,4 т.] Когато скоростта стане $v = v_1$, положението е $x = r$, следователно ускорението $a_1 = \frac{v_1^{\,2} - v_0^{\,2}}{2r} =$ [0,5 т.] $\frac{(50\ \mathrm{m/s})^2 - (40\ \mathrm{m/s})^2}{2\cdot 200\ \mathrm{m}} = 2{,}25\ \mathrm{m/s^2}$. [0,5 т.]

б) Времето $T_1$ за една обиколка на първия мотоциклет е $T_1 = \frac{2\pi r}{v_0} + 4\,t_{\text{ст−фин}1}$. [0,5 т.] Времето $t_{\text{ст−фин}1}$ за ускоряване на първия мотоциклет от $v_0$ до $v_1$ намираме от първото уравнение, $t_{\text{ст−фин}1} = \frac{v_1 - v_0}{a_1}$. Замествайки с полученото ускорение, $t_{\text{ст−фин}1} = \frac{2r}{v_1 + v_0}$. [0,5 т.] Така $T_1 = \frac{2\pi r}{v_0} + \frac{8r}{v_1 + v_0} =$ [0,5 т.] $\frac{2\pi\cdot 200\ \mathrm{m}}{40\ \mathrm{m/s}} + \frac{8\cdot 200\ \mathrm{m}}{50\ \mathrm{m/s} + 40\ \mathrm{m/s}} \approx 49{,}2$ s (49,194 s. Резултатите в скобите тук и нататък са написани с по-голяма точност, за да не се трупа грешка от закръгляване в следващите замествания). [0,5 т.]

в) Максималната скорост $v_2$ на втория мотоциклет може да се получи от последното уравнение, прилагайки го за втория мотоциклет, $T_2 = \frac{2\pi r}{v_0} + \frac{8r}{v_2 + v_0}$, [0,5 т.] откъдето $v_2 = \frac{8r}{T_2 - \frac{2\pi r}{v_0}} - v_0 =$ [0,5 т.] $\frac{8\cdot 200\ \mathrm{m}}{47\ \mathrm{s} - \frac{2\pi\cdot 200\ \mathrm{m}}{40\ \mathrm{m/s}}} - 40\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 62{,}7$ m/s (62,669 m/s) [0,2 т.] $\approx 226$ km/h. [0,3 т.]

г) Ускорението $a_2$, с което вторият мотоциклет се движи по правите участъци, може да се пресметне от вече получената аналогична формула за първия мотоциклет, $a_2 = \frac{v_2^{\,2} - v_0^{\,2}}{2r} =$ [0,5 т.] $\frac{(62{,}669\ \mathrm{m/s})^2 - (40\ \mathrm{m/s})^2}{2\cdot 200\ \mathrm{m}} \approx 5{,}82\ \mathrm{m/s^2}$ ($5{,}8185\ \mathrm{m/s^2}$). [1 т.]

д) Времето, за което вторият мотоциклет финишира, е $T_{2\text{ф}} = 10T_2 + t_{\text{ст−фин}2} = 10T_2 + \frac{v_2 - v_0}{a_2} =$ [0,5 т.] $10\cdot 47\ \mathrm{s} + \frac{62{,}669\ \mathrm{m/s} - 40\ \mathrm{m/s}}{5{,}8185\ \mathrm{m/s^2}} \approx 473{,}9$ s (473,896 s). [0,5 т.] Тъй като $\frac{T_{2\text{ф}}}{T_1} \approx 9{,}63$, то първият мотоциклет ще е направил 9 обиколки и ще е във втората половина на десетата си обиколка. Също така $T_{2\text{ф}} - 9{,}5\,T_1 \approx 6{,}55$ s (6,553 s) е по-голямо от $t_{\text{ст−фин}1} = \frac{2r}{v_1 + v_0} \approx 4{,}44$ s (4,444 s), но е по-малко от $2t_{\text{ст−фин}1}$ (8,888 s). Това означава, че първият мотоциклет ще е във втората половина на правата отсечка от другата страна на старта и ще се движи равнозакъснително. [0,5 т.] Скоростта му в момента на финиширане на втория мотоциклет ще бъде $v_3 = v_1 - a_1\left(T_{2\text{ф}} - 9{,}5\,T_1 - t_{\text{ст−фин}1}\right) =$ [0,5 т.] $50\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} - 2{,}25\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\,(473{,}896\ \mathrm{s} - 9{,}5\cdot 49{,}194\ \mathrm{s} - 4{,}444\ \mathrm{s}) \approx 45{,}25$ m/s $\approx 163$ km/h. [0,5 т.] Положението на мястото, където се намира първият мотоциклет в този момент, може да се изчисли от формулата $x = v_1 t_x - \frac{1}{2} a_1 t_x^{\,2}$, където $t_x = T_{2\text{ф}} - 9{,}5\,T_1 - t_{\text{ст−фин}1}$. Замествайки, $t_x = 473{,}896\ \mathrm{s} - 9{,}5\cdot 49{,}194\ \mathrm{s} - 4{,}444\ \mathrm{s} = 2{,}109$ s, $x = 50\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 2{,}109\ \mathrm{s} - \frac{1}{2}\cdot 2{,}25\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\,(2{,}109\ \mathrm{s})^2 \approx 100$ m. Следователно когато вторият мотоциклет финишира, първият ще се намира в средата на лявата половина на горната отсечка. [0,5 т.]