НОФ 2019, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Електрически вериги

• а) $R_{\mathrm{г}}=2R$
• б) $R_{\mathrm{с}}=\frac{13R}{6}$
• в) $R_{\mathrm{д}}=\frac{8R}{5}$

а) Като отчетем, че идеалният волтметър има безкрайно голямо съпротивление, еквивалентна схема на най-горната електрическа верига от условието на задачата е представена на фигурата вляво. [1 т.]

Последователно на най-левия резистор е свързан балансиран Уитстонов мост – поради симетрията не е възможно да тече ток през вертикално свързания резистор в средата на моста, откъдето следва, че може да го отстраним от веригата. [1 т.] Съпротивлението, което ще се измери между краищата на веригата в този случай, е $R_{\mathrm{г}}=R+\frac{2R\cdot2R}{2R+2R}=R+R=2R$. [1,5 т.]

б) Еквивалентната схема за тази верига е изобразена на фигурата вляво. [0,5 т.]

Двата най-леви успоредно свързани резистора са свързани последователно на средния резистор и на друга група от успоредно и последователно свързани резистори. Следователно, общото съпротивление на тази верига е $R_{\mathrm{с}}=\frac{R\cdot R}{R+R}+R+\frac{2R\cdot R}{2R+R}=\frac{R}{2}+R+\frac{2R}{3}=\frac{13R}{6}$. [2 т.]

в) В този случай еквивалентната схема е дадена на фигурата вляво. [1,5 т.]

Електричното съпротивление между краищата на веригата е равно на $R_{\mathrm{д}}=R\left(\frac{R\cdot R}{R+R}+R\right)\bigg/\left(\frac{R\cdot R}{R+R}+R+R\right)+R=R\left(\frac{3R}{2}\right)\bigg/\left(\frac{5R}{2}\right)+R$, т.е. $R_{\mathrm{д}}=\frac{3R}{5}+R=\frac{8R}{5}$. [2,5 т.]