НОФ 2019, IV кръг, контролно 10 × 3 точки — Задача 2. Спираловидна траектория

Национална олимпиада по физика, IV кръг (подбор), 2019 — контролна работа (k30)

Условие

Частица с маса $m$ се движи под действие на централна сила, като започва движението си на разстояние $r_0$ от силовия център. При определена големина $v_0$ на началната си скорост частицата се движи по спираловидна траектория, като през цялото време векторът на скоростта ѝ сключва един и същ ъгъл $\theta$ с радиус-вектора (фиг. 2).

а) Получете уравнението на траекторията в полярни координати, т.е. намерете зависимостта $r(\varphi)$ на разстоянието $r$ до центъра в даден момент от ъгъла $\varphi$, на който се е завъртял радиус-векторът спрямо началното си положение (вж. фигурата). Уравнението може да включва като параметри $r_0$ и $\theta$. [нечетливо: зачеркнато с химикал]

б) Получете израз (с точност до константа) за потенциалната енергия $W$ на частицата като функция на разстоянието $r$ до центъра.

Решение

Полезни константи

скорост на светлината във вакуум $c = 3.10^{8}\ \mathrm{m/s}$

константа на Планк $h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$, елементарен заряд $q_0 = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$

маса на електрона $m = 9{,}1.10^{-31}\ \mathrm{kg}$, маса на протона $M = 1836m$

електрична константа $\varepsilon_0 = 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F/m}$, $1\ \mathrm{eV} = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{J}$

---

Оригинал в Архива: k30_zad.pdf