НОФ 2019, IV кръг, петточково контролно — Задача 3. Едномерен кристал

Национална олимпиада по физика, IV кръг (подбор), 2019 · 5 т.

Условие

Голям брой топчета (атоми) с еднаква маса $m$ са разположени на една права линия през равни разстояния $a$ едно от друго (кристал), като всеки две съседни топчета са свързани с пружина с еднакъв коефициент на еластичност $k$. Топчетата са номерирани с индекс $n = 0$, $1$, $2$, …, като $n = 0$ съответства на топчето в левия край на верижката (вж. фигурата). Под действие на периодична външна сила крайното топче трепти надлъжно на верижката с кръгова честота $\omega$ и амплитуда $A$ ($A \ll a$) по хармоничен закон:

където $x_0$ е отместването на топчето от равновесното му положение. При това по верижката надясно се разпространява надлъжна вълна с дължина $\lambda$. По-нататък, ако ви е по-удобно, можете да използвате вместо параметъра $\lambda$ съответната големина на вълновия вектор: $q = 2\pi/\lambda$.

а) Получете закона, по който се изменя с времето отместването $x_n$ на $n$-тото ($n > 0$) топче във верижката.

б) Като разгледате движението на $n$-тото топче ($n > 0$), получете функционална връзка $\omega(\lambda)$ или $\omega(q)$ между кръговата честота и съответно дължината на вълната или вълновия вектор на вълната.

в) Звук се нарича вълна, чиято дължина е много по-голяма от разстоянието между съседните атоми, т.е. $\lambda \gg a$. Скоростта на звука в даден кристал на практика не зависи от честотата на звука. Получете израз за скоростта $u$ на звуковите вълни във верижката като функция на $k$, $m$ и $a$.

г) Получете израз за мощността* $P$ на звуковата вълна като функция на нейната кръгова честота $\omega$, амплитуда $A$ и параметрите $k$, $m$ и $a$.

*Мощност на звуковата вълна е средното количество енергия, която вълната пренася за единица време.

Полезна математика

Решение

---

Оригинал в Архива: k5_zad 2019.pdf