Съдържание

НОФ 2020, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1. Свързани заряди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, областен кръг, тема за XI и XII клас (V състезателна група) · 23 февруари 2020 г. · 10 т.

Условие

а) Две малки метални топчета с еднаква маса $m$ се намират на разстояние $l$ едно от друго (фиг. 1). На топчетата са придадени еднакви по големина и противоположни по знак заряди $+q$ и $-q$ съответно. Топчетата се намират във външно еднородно електрично поле.

а) (i) Определете големината $E$ и посоката на интензитета на външното поле (изобразете я на чертеж), ако е известно, че топчетата се намират в равновесие. [2,5 т.]

а) (ii) Устойчиво ли е равновесието на топчетата? Обосновете кратко отговора си, като използвате подходящ чертеж. [1,5 т.]

б) Двете топчета са свързани с неразтеглива изолираща нишка, без равновесието им да бъде нарушено. Отрицателно зареденото топче е осветено за кратко с ултравиолетово лъчение и поради фотоефект губи част от електроните си, като зарядът му става $q' = -q/4$ . В резултат на това топчетата започват да се ускоряват във външното поле.

Направете чертеж, на който да изобразите посоките на всички сили, действащи на топчетата. Определете големината $T$ на силата на опън на нишката. [6 т.]

Две топчета, лявото със заряд минус q, дясното със заряд плюс q, свързани с отсечка с дължина l. — Фиг. 1 — двете топчета с маси $m$ и заряди $-q$ и $+q$ на разстояние $l$ едно от друго.

Отговори

Решение

а) На фигурата са дадени силите, действащи на положително зареденото топче в състояние на равновесие: $F_1$ на привличане към отрицателно зареденото топче и $F$ , с която му действа външното поле.

Стрелка E надясно; топчето минус q вляво; топчето плюс q с две противоположни стрелки F1 наляво и F надясно. — Силите, действащи на положително зареденото топче в равновесие: $F_1$ на привличане и $F$ от външното поле с интензитет $E$ .

Силата $F$ има същата посока като интензитета на външното поле. Следователно интензитетът е успореден на правата, свързваща топчетата, и е с посока от отрицателното към положителното топче.

Големините на силите са съответно:

F_1 = \frac{kq^2}{l^2}; \qquad F = qE.

От условието за разновесие:

\frac{kq^2}{l^2} = qE

определяме:

E = \frac{kq}{l^2}.

Алтернативно решение за ученици, които познават принципа на суперпозиция за електричното поле:

За да бъде в равновесие всяко от топчетата, то трябва да се намира в точка с нулев сумарен интензитет на електричното поле. Например положително зареденото топче се намира в полето на отрицателния заряд с интензитет:
$E_1 = \frac{kq}{l^2},$
и посока наляво – към отрицателния заряд. Следователно външното поле трябва да е насочено надясно (от отрицателния към положителния заряд) и да има интенцитет с големина:
$E = E_1 = \frac{kq}{l^2}.$

Нека положително зареденото топче бъде изведено от състоянието си на равновесие, например като бъде отдалечено от отрицателното топче, както е показано на фигурата.

Топчето плюс q, изместено надясно от пунктирано означеното равновесно положение; сили F1 наляво, F надясно и резултантна FR надясно. — Отместване на положителното топче от равновесното му положение: равнодействащата $F_R$ е насочена надясно.

Тогава силата $F_1$ на привличане между топчетата намалява. Силата $F$ обаче не се променя защото външното поле е еднородно, т.е. $F > F_1$ . Следователно равнодействащата сила $F_\mathrm{R}$ е насочена надясно и се стреми да отдалечи топчето от равновесното му положение. Следователно топчетата са в неустойчиво равновесие.

Бележка. Еквивалентно решение би било да се разгледа отместване, при което топчетата се доближават едно към друго, или ако се разглежда отместване на отрицателното топче.

Критерии за първото решение	Точки	Критерии за алтернативното решение	Точки
Изразява силата на привличане $F_1$ от закона на Кулон	0,5	Записва израз за интензитета $E_1$ на полето на точков заряд.	0,5
Записва израз за силата $F$ в еднородно поле.	0,5	Записва, че сумарният интензитет на полето е нула.	1,0
Приравнява $F$ и $F_1$	0,5	Приравнява $E$ на $E_1$ .	0,5
Получава израз за $E$ .	0,5
Определя посоката на $E$ .	0,5	Определя посоката на $E$ .	0,5

Общо и за двете решения	Точки
Разбира, че силата на привличане се увеличава (намалява) при доближаване (отдалечаване) на топчетата.	0,5
Прави подходящ чертеж и стига до извод, че равнодействащата сила отдалечава топчетата от равновесното им положение.	0,5
Прави извод, че равновесието е неустойчиво.	0,5
Общо по точка а)	4,0

б) На фигурата са дадени силите, действащи на двете топчета при тяхното движение. (За всяка сила с правилно означена посока $\times$ 0,4 т — общо 2,4 т.)

Две топчета, свързани с нишка; на лявото действат qE/4 наляво, T и F2 надясно, на дясното T и F2 наляво и qE надясно. — Силите, действащи на двете топчета при движението им: $qE/4$ , $T$ , $F_2$ и $qE$ .

Силата на привличане между топчетата има големина:

F_2 = \frac{kq(q/4)}{l^2} = \frac{kq^2}{4l^2}. \qquad \textbf{[0,6 т.]}

От II принцип на механиката за положителното топче имаме:

ma = qE - T - \frac{kq(q/4)}{l^2} = \frac{3kq^2}{4l^2} - T, \qquad \textbf{[1,0 т.]}

а за отрицателното:

ma = T + \frac{kq(q/4)}{l^2} - E(q/4) = T. \qquad \textbf{[1,0 т.]}

След като решим системата от двете уравнения, получаваме:

a = \frac{3kq^2}{8ml^2}

и съответно:

T = \frac{3kq^2}{8l^2}. \qquad \textbf{[1,0 т.]}

Оригинал в Архива: NOF2_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2020_11-12solutions.pdf