Съдържание

НОФ 2020, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2. Магнитно задвижване

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, областен кръг, тема за XI и XII клас (V състезателна група) · 23 февруари 2020 г. · 10 т.

Условие

Пръчка графит с маса $m = 10\ \mathrm{g}$ и с площ на напречното сечение $S = 1{,}0\ \mathrm{cm^2}$ е поставена върху две хоризонтални метални релси a и b, свързани съответно към положителния и отрицателния полюс на източник на постоянно напрежение $U = 12\ \mathrm{V}$ , както е показано на фиг. 2(а). Дължината на пръчката е равна на разстоянието между релсите. Пръчката и релсите се намират в еднородно магнитно поле с неизвестна индукция $B$ , чиято посока може да се променя. Приемете, че електричното съпротивление на релсите е пренебрежимо спрямо съпротивлението на пръчката. За да бъде изведена пръчката от равновесие, към нея се прилага външна сила, успоредна на релсите.

Когато магнитното поле е перпендикулярно на равнината на релсите, минималната сила, при която пръчката започва да се хлъзга по релсите, е $F_1 = 0{,}028\ \mathrm{N}$ . Ако полето е успоредно на релсите, минималната стойност на силата е $F_2 = 0{,}064\ \mathrm{N}$ .

Данни:

земно ускорение, $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ;
специфично съпротивление на графита, $\rho = 5{,}0 \cdot 10^{-5}\ \Omega \cdot \mathrm{m}$ .

Важно уточнение: Индуцираното в електрическата верига ЕДН поради промяна на посоката на магнитното поле или поради отместване на пръчката графит се пренебрегва.

Перспективен изглед: две успоредни релси a и b, напречно поставена графитна пръчка и източник на напрежение U вдясно. — Фиг. 2(а) — графитната пръчка върху релсите a и b, свързани към полюсите на източника с напрежение $U$ .

Страничен изглед: хоризонтална релса b с малко правоъгълно сечение на пръчката върху нея. — Фиг. 2(б) — страничен изглед към релсата b.

а) Във всеки от двата случая, изобразете на чертеж всички сили, действащи на пръчката, както и посоката на магнитнота индукция на полето. Използвайте страничен изглед към релсата b, както е показано на фиг. 2(б). [3 т.]

б) Намерете големината $B$ на индукцията на полето и коефициента k на триене между пръчката и релсите. [7 т.]

Отговори

Решение

а) По пръчката тече ток от релсата a към релсата b, т.е. от чертежа към вас. Когато магнитната индукция е вертикална, на пръчката действа хоризонтална магнитна сила $F_\mathrm{m}$ в посока, която се определя от правилото на дясната ръка. На фигурата по-долу е показана посоката на силата, когато магнитната индукция е нагоре. Ако ученикът е изобразил индукцията надолу, силата $F_\mathrm{m}$ трябва да бъде съответно в противоположна посока. За да бъде минимална, външната сила $F_1$ трябва да има същата посока като $F_\mathrm{m}$ . Останалите сили са силата на триене $f$ , силата на тежестта $G = mg$ и силата $R$ на реакция на релсите.

Страничен изглед на релса с пръчка: R нагоре, G равно на mg надолу, F1 и Fm наляво, f надясно, B вертикално нагоре встрани. — Случай на вертикална магнитна индукция: силите $R$ , $G = mg$ , $F_1$ , $F_\mathrm{m}$ и $f$ при страничен изглед към релсата b.

Когато магнитната индукция е хоризонтална, магнитната сила $F_\mathrm{m}$ е вертикална. Най-малка сила за задвижване на пръчката е нужна, когато магнитната сила е нагоре, защото в този случай натискът върху релсите намалява, а оттам намалява и максималната сила на триене. В този случай магнитната индукция е хоризонтална – надясно. Силата $F_2$ може да бъде както надясно, така и наляво.

Страничен изглед на релса с пръчка: R и Fm нагоре, G равно на mg надолу, F2 наляво, f надясно, B хоризонтално надясно. — Случай на хоризонтална магнитна индукция: $F_\mathrm{m}$ е вертикално нагоре, $R < mg$ .

Критерии за оценка на чертежите	Брой точки
1) Вертикална магнитна индукция
Посоката на $F_\mathrm{m}$ и на магнитната индукция $B$ съответстват на правилото на дясната ръка.	0,5
$F_1$ и $F_\mathrm{m}$ са в една посока.	0,5
Силата $f$ на триене е в противоположна посока спрямо $F_1$ и $F_\mathrm{m}$ .	0,2
Силата на тежестта $mg$ е вертикално надолу.	0,1
Силата на реакция $R$ е вертикално нагоре и е изобразена със същата големина като $mg$ .	0,2
2) Хоризонтална магнитна индукция
$F_\mathrm{m}$ е вертикално нагоре.	0,5
$B$ е надясно.	0,5
$F_2$ е хоризонтална, без значение наляво или надясно.	0,1
Силата на тежестта $mg$ е вертикално надолу.	0,1
Силата на реакция $R$ е вертикално нагоре и е изобразена с големина, по-малка от $mg$ .	0,2
Силата $f$ на триене е в противоположна посока спрямо $F_2$ и има същата големина.	0,1
Общо по подточка а)	3,0

б) По пръчката тече ток:

I = \frac{U}{R}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Съпротивлението на пръчката е:

R = \frac{\rho l}{S}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Независимо дали магнитната индукция е вертикална или хоризонтална, тя е перпендикулярна на посоката, в която тече тока. Следователно големината на магнитната сила и в двата случая е:

F_\mathrm{m} = IlB = \frac{USB}{\rho}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

В случай, че магнитната индукция е вертикална, а магнитната сила – съответно хоризонтална, от условието за равновесие на силите в хоризонтална посока получаваме:

F_1 + F_\mathrm{m} = f. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Във вертикална посока имаме:

R = mg, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

а от връзката между силата на триене и силата на натиск (реакция):

f = kR = kmg. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Като използваме израза за магнитната сила, получаваме следното уравнение:

(1) \qquad F_1 = kmg - \frac{USB}{\rho}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

В случай на хоризонтална магнитна индукция големината на магнитната сила е същата. Условията за равновесие в хоризонтално и във вертикално направление обаче са различни:

F_2 = f \qquad \textbf{[0,5 т.]}

и съответно:

R + F_\mathrm{m} = mg. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Така получаваме второ уравнение:

(2) \qquad F_2 = k\left(mg - \frac{USB}{\rho}\right). \qquad \textbf{[0,5 т.]}

От уравненията (1) и (2) получаваме следното квадратно уравнение за коефициента на триене k:

mgk^2 - (mg + F_1)k + F_2 = 0

или

k^2 - 1{,}28k + 0{,}64 = 0, \qquad \textbf{[0,5 т. — независимо дали аналитичен или числен вид]}

където сме взели предвид, че $mg = 0{,}1\ \mathrm{N}$ и сме използвали дадените стойности на $F_1$ и $F_2$ . Квадратното уравнение има единствено решение:

k = 0{,}8 \qquad \textbf{[0,5 т.]}

За магнитната индукция получаваме съответно израза:

B = \frac{\rho(F_2 - F_1)}{(1-k)US} \qquad \textbf{[0,5 т.]}

и пресмятаме нейната големина:

B \approx 7{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{T} \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Оригинал в Архива: NOF2_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2020_11-12solutions.pdf