Съдържание

НОФ 2020, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Светлинен многоъгълник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2020

Олимпиада по физика 2020, областен кръг, тема за XI и XII клас (V състезателна група) · 23 февруари 2020 г. · 10 т.

Условие

Кръг с център O в координатна система OXY; хоризонтален падащ лъч на разстояние y над оста X. — Фиг. 3(а) — цилиндърът с център в началото O на координатната система OXY и падащ лъч с вертикално отместване $y$ .

Кръг, в който падащият лъч се пречупва, отразява се вътре и излиза, образувайки начупена линия. — Фиг. 3(б) — ход на лъча: пречупване при влизане, частично отражение вътре в цилиндъра и излизане.

Цилиндър от плексиглас (прозрачна пластмаса) с радиус $R = 10{,}0\ \mathrm{cm}$ е поставен така, че центърът му се намира в началото O на координатна система OXY (фиг. 3(а)). Върху околната повърхност на цилиндъра пада светлинен лъч, успореден на оста X. Вертикалното отместване y на лъча спрямо центъра на цилиндъра може да се променя от 0 до R.

В тази задача е достатъчно да получите само числени отговори за търсените величини, без да давате буквени изрази.

Упътване. При падане на светлина върху цилиндрична повърхност ъглите на падане, отражение и пречупване се отчитат спрямо радиуса, минаващ през точката на падане.

а) (i) Ако лъчът пада така, че почти да се допира до повърхността на цилиндъра, т.е. $y \approx R$ , пречупеният в плексигласа лъч достига отново повърхността на цилиндъра в точка на разстояние $L = 14{,}9\ \mathrm{cm}$ от точката на падане на светлината върху цилиндъра.

Начертайте хода на падащия и на пречупения лъч и означете на чертежа съответно ъгъла на падане и ъгъла на пречупване. [1,5 т.]

а) (ii) Определете показателя n на пречупване на плексигласа. [3,5 т.]

б) След като пречупеният лъч достига отново повърхността на цилиндъра, той частично се пречупва във въздуха и частично се отразява обратно в плексигласа. Така след неколкократни отражения светлината се разпространява в плексигласа по начупена линия, както е показано на фиг. 3(б). При определени стойности на отместването y на падащия лъч спрямо центъра е възможно начупената линия да се „затвори“ така, че да образува правилен многоъгълник.

Възможно ли е за цилиндър от плексиглас лъчите в цилиндъра да образуват равностранен триъгълник или квадрат? Ако да, при какви стойности на y? [5 т.]

Отговори

Решение

а) Ходът на лъчите е даден на фигурата. Ъгълът на падане е означен с $\alpha$ , а ъгълът на пречупване – с $\beta$ .

Кръг с център O; лъч, падащ допирателно в точка A, пречупен към точка B; означени ъгли алфа и бета и точка H. — Ход на лъча при $y \approx R$ : ъгъл на падане $\alpha$ , ъгъл на пречупване $\beta$ , точки $A$ и $B$ и перпендикулярът $OH$ .

Критерии за оценка на чертежа	Брой точки
Върху чертежа е означен ъгълът на падане (може и с друга буква освен с $\alpha$ ).	0,5
Върху чертежа е означен ъгълът на пречупване (може и с друга буква освен с $\beta$ ).	0,5
От чертежа е ясно, че $\alpha = 90^\circ$ , т.е. падащият лъч е перпендикулярен на радиуса.	0,5
Общо по чертежа	1,5

б) (в оригинала подусловието за показателя на пречупване е означено с „б)“) От закона на Снелиус имаме:

n = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} \qquad \textbf{[1,0 т.]}

Ъгълът на падане е:

\alpha = 90^\circ, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

т.е.

\sin\alpha = 1 \qquad \textbf{[0,5 т.]}

На чертежа с $A$ и $B$ са означени точките, в които лъчът съответно влиза в цилиндъра и излиза от него, т.е. $L = |AB|$ . Тъй като $\triangle ABO$ е равнобедрен, перпендикулярът $OH$ към отсечката $AB$ я разполвява, т.е. $|AH| = |BH| = L/2$ . За правоъгълния триъгълник $OAH$ имаме:

|OH| = \sqrt{|OA|^2 - |AH|^2} = \sqrt{R^2 - (L/2)^2}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

\sin\beta = \frac{|OH|}{|AO|} = \frac{\sqrt{R^2 - (L/2)^2}}{R} \approx 0{,}667 \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Така получаваме:

n = \frac{1}{0{,}667} \approx 1{,}5. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

б) Ходът на лъчите е изобразен на чертежа: Вижда се, че ъгълът $\alpha$ на падане е свързан с вертикалното отместване y на лъча чрез равенството:

\sin\alpha = \frac{y}{R} \qquad \textbf{[1,0 т.]}

Кръг с вписан равностранен триъгълник от лъчи; падащ лъч с отместване y, означени ъгли алфа и 2 бета и радиус R. — Ход на лъчите, образуващи равностранен триъгълник в цилиндъра; означени са $y$ , $R$ , $\alpha$ и $2\beta$ .

Ъгълът на падане от плексигласа към въздуха е $\beta$ . Следователно ъгълът на отражение в плексигласа също е $\beta$ . Тъй като триъгълникът е равностранен, $2\beta = 60^\circ$ , т.е. лъчите в цилиндъра образуват равностранен триъгълник, когато ъгълът на пречупване е:

\beta = 30^\circ. \qquad \textbf{[1,0 т.]}

От закона на Снелиус следва:

\sin\alpha = n\sin\beta. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Следователно лъчите образуват равностранен триъгълник, когато:

y = Rn\sin 30^\circ = 10\ \mathrm{cm} \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 = 7{,}5\ \mathrm{cm}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Квадрат би се наблюдавал при ъгъл на пречупване:

\beta = 45^\circ. \qquad \textbf{[1,0 т.]}

В този случай обаче:

Rn\sin 45^\circ = 10\ \mathrm{cm} \cdot 1{,}5 \cdot 1/\sqrt{2} \approx 10{,}6\ \mathrm{cm} > R, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

което е невъзможно, защото $y \le R$ . Следователно при никакво отместване на падащия лъч спрямо центъра, лъчите в цилиндъра не образуват квадрат. $\textbf{[0,5 т.]}$

Оригинал в Архива: NOF2_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2020_11-12solutions.pdf