НОФ 2020, II кръг (областен), 8. клас — Задача 2. Вериги с два ключа и два амперметъра

• 2.1. Възможни са две отношения: $R_1 : R_2 : R_3 = 1 : 3 : 2$ (тогава ① = Ⓑ, ② = Ⓒ, ③ = Ⓓ, ④ = Ⓐ) и $R_1 : R_2 : R_3 = 3 : 2 : 6$ (тогава ① = Ⓓ, ② = Ⓒ, ③ = Ⓑ, ④ = Ⓐ), където Ⓐ = ($\mathrm{К}_a$ долу, $\mathrm{К}_b$ горе), Ⓑ = ($\mathrm{К}_a$ горе, $\mathrm{К}_b$ горе), Ⓒ = ($\mathrm{К}_a$ горе, $\mathrm{К}_b$ долу), Ⓓ = ($\mathrm{К}_a$ долу, $\mathrm{К}_b$ долу); отношенията са $I_a/I_b$ = 1, $R_2/R_1$, $R_3/R_1$, $R_3/R_2$ съответно.

• 2.2. $R_1 = 100\ \Omega,\quad R_2 = 300\ \Omega,\quad R_3 = 200\ \Omega$

  Стойността във value е $R_1$; пълният отговор е $R_1 = 100\ \Omega$, $R_2 = 300\ \Omega$, $R_3 = 200\ \Omega$.

Решение: 2.1. Нека означим с Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ и Ⓓ веригите, които се получават при следните положения на ключовете $\mathrm{К}_a$ и $\mathrm{К}_b$:

Всяка от веригите по-горе се състои от два успоредно свързани резистора (с изключение на Ⓐ, там имаме само един резистор и тъй като двата амперметъра са еднакви, те ще показват един и същ ток). От закона на Ом може да определим отношението $I_a/I_b$ изразено чрез съпротивленията участващи във всяка от веригите:

След като сме намерили отношенията $I_a/I_b$ за всяка верига, трябва да проверим при какво отношение на $R_1 : R_2 : R_3$ ще получим стойностите от таблицата дадена по условие. За целта на всяко от отношенията означени като Ⓑ, Ⓒ и Ⓓ задаваме всяка от стойностите на ①, ② и ③ или ще имаме следните възможности:

(3 т.)

От горната таблица се вижда, че само с отношенията на $R_1 : R_2 : R_3$ в редове 1 и 6 могат да се получат стойностите в таблицата дадена по условие. Да разгледаме първия ред, колона Ⓑ и Ⓒ. Да предположим, че първите две отношения са изпълнени $R_2/R_1 = 3$ и $R_3/R_1 = 2$, тогава от тях може да получим отношението $R_3/R_2$, което се получава 2/3, сравняваме с колона Ⓓ и виждаме, че отношението наистина е толкова. Да направим същата проверка и за втория ред: от $R_2/R_1 = 2$ и $R_3/R_1 = 2/3$ получаваме, че $R_3/R_2 = 1/3$, но според колона Ⓓ това отношение трябва да е 3. Виждаме, че при такива отношения на $R_1 : R_2 : R_3$ не може да получим числата дадени в условието на задачата. Останалите редове се проверяват по съшия начин. Така от редове 1 и 6 накрая получаваме:

(1 т.)

(1 т.)

Положенията на ключовете за двете възможни отношения $R_1 : R_2 : R_3$ са:

(2 т.)

Решение: 2.2. $R_1$ е най-малкият от трите съпротивления, тогава $R_1 : R_2 : R_3 = 1 : 3 : 2$ (0.5 т.) или може да запишем:

(1 т.)

Откъдето определяме $R_1 = 100\ \Omega$, $R_2 = 300\ \Omega$ и $R_3 = 200\ \Omega$. (1.5 т.)