НОФ 2020, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1. Равнопроменливи движения

Част I

а) При равноускорителното движение тялото развива скорост $v_{\mathrm{у}} = at_{\mathrm{у}}$. [0,5 т.] След това тялото се движи равнозакъснително, докато спира, т.е. $v_{\mathrm{у}} - 2at_{\mathrm{з}} = 0$. [0,5 т.] Оттук $t_{\mathrm{з}} = \frac{v_{\mathrm{у}}}{2a} = \frac{t_{\mathrm{у}}}{2}$ и търсеното отношение е $\frac{t_{\mathrm{у}}}{t_{\mathrm{з}}} = 2$. [0,5 т.]

б) При равноускорителното движение тялото изминава път $s = \frac{at_{\mathrm{у}}^2}{2}$, откъдето $t_{\mathrm{у}} = \sqrt{\frac{2s}{a}}$. [1 т.] При равнозакъснителното движение тялото изминава път $s_{\mathrm{з}} = \frac{v_{\mathrm{у}}^2}{4a} = \frac{at_{\mathrm{у}}^2}{4} = \frac{s}{2} = 100\ \mathrm{m}$. [1 т.]

в) Общият път, изминат от тялото, е $s + s_{\mathrm{з}} = \frac{3s}{2}$. [0,5 т.] Времето за движение е $t_{\mathrm{у}} + t_{\mathrm{з}} = \frac{3t_{\mathrm{у}}}{2}$. [0,5 т.] Оттук средната скорост на движение е $v_{\mathrm{ср}} = \frac{s+s_{\mathrm{з}}}{t_{\mathrm{у}}+t_{\mathrm{з}}} = \frac{s}{t_{\mathrm{у}}} = \sqrt{\frac{as}{2}} = 10\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

г) В този случай времето за равнозакъснително движение е $t'_{\mathrm{з}} = \frac{2v_{\mathrm{у}}}{a} = 2t_{\mathrm{у}}$. [0,5 т.] За това време тялото изминава път $s'_{\mathrm{з}} = \frac{v_{\mathrm{у}}^2}{a} = at_{\mathrm{у}}^2 = 2s$. [0,5 т.] Следователно, средната скорост ще бъде $v'_{\mathrm{ср}} = \frac{s+s'_{\mathrm{з}}}{t_{\mathrm{у}}+t'_{\mathrm{з}}} = \frac{s}{t_{\mathrm{у}}} = \sqrt{\frac{as}{2}} = 10\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

Част II

До момента на настигането автомобилът изминава път $s_{\mathrm{А}} = \frac{a_{\mathrm{А}}(t_0+t)^2}{2}$. [0,5 т.] Дотогава мотоциклетът изминава път $s_{\mathrm{М}} = \frac{a_{\mathrm{М}}t^2}{2}$. [0,5 т.] Условието мотоциклетът да настигне автомобила е $s_{\mathrm{А}} = s_{\mathrm{М}}$, откъдето $t_0 = t\left(\sqrt{\frac{a_{\mathrm{М}}}{a_{\mathrm{А}}}} - 1\right) = 30\ \mathrm{s}$. [1,5 т.]